Учебник математика виленкин 6 класс для андроид

Содержание

Математика, 6 класс, Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И., 2013
Математика, 6 класс, Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., 2009
Математика 6 класс Учебник Виленкин

Математика, 6 класс, Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И., 2013

Математика, 6 класс, Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И., 2013.

Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений. Предлагаемые учебники позволяют вести разноуровневое обучение, обеспечивают качественную подготовку школьников.

Признаки делимости на 9 и на 3.
Узнаем, не выполняя деления, можно ли 846 яиц разложить в 9 корзин поровну.
В числе 846 содержится 8 сотен, 4 десятка и 6 единиц. Если раскладывать поровну в 9 корзин одну сотню яиц, то в каждую корзину можно положить 11 яиц, а одно яйцо останется. От восьми сотен останется 8 яиц.

Если раскладывать поровну в 9 корзин один десяток яиц, то в каждую корзину надо положить одно яйцо и одно яйцо останется. От четырёх десятков останется 4 яйца.
Не разложенными в корзины останутся 8 яиц от сотен, 4 яйца от десятков и ещё 6 яиц: 8 + 4 + 6 = 18. Число 18 является суммой цифр числа 846. Так как 18 яиц можно разложить поровну в 9 корзин (по 2 яйца в каждую), то и все 846 яиц можно разложить поровну в 9 корзин. Это значит, что число 846 делится без остатка на 9.

Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Содержание
Глава I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ
§1. Делимость чисел
1. Делители и кратные
2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
3. Признаки делимости на 9 и на 3
4. Простые и составные числа
5. Разложение на простые множители
6. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
7. Наименьшее общее кратное
§2. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
8. Основное свойство дроби
9. Сокращение дробей
10. Приведение дробей к общему знаменателю
11. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
12. Сложение и вычитание смешанных чисел
§3. Умножение и деление обыкновенных дробей
13. Умножение дробей
14. Нахождение дроби от числа
15. Применение распределительного свойства умножения
16. Взаимно обратные числа
17. Деление
18. Нахождение числа по его дроби
19. Дробные выражения
§4. Отношения и пропорции
20. Отношения
21. Пропорции
22. Прямая и обратная пропорциональные зависимости
23. Масштаб
24. Длина окружности и площадь круга
25. Шар
Глава II. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§5. Положительные и отрицательные числа
26. Координаты на прямой
27. Противоположные числа
28. Модуль числа
29. Сравнение чисел
30. Изменение величин
§6. Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел
31. Сложение чисел с помощью координатной прямой
32. Сложение отрицательных чисел
33. Сложение чисел с разными знаками
34. Вычитание
§7. Умножение и деление положительных и отрицательных чисел
35. Умножение
36. Деление
37. Рациональные числа
38. Свойства действий с рациональными числами
§8. Решение уравнений
39. Раскрытие скобок
40. Коэффициент
41. Подобные слагаемые
42. Решение уравнений
§9. Координаты на плоскости
43. Перпендикулярные прямые
44. Параллельные прямые
45. Координатная плоскость
46. Столбчатые диаграммы
47. Графики
48. Вопросы и задачи на повторение
Заключение
Ответы
Предметный указатель.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математика, 6 класс, Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И., 2013 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Источник

Математика, 6 класс, Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., 2009

Математика, 6 класс, Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., 2009.

Примеры.
Какие из следующих утверждений верны: а) два четных числа не могут быть взаимно простыми; б) четное и нечетное числа всегда взаимно простые; в) два различных простых числа всегда взаимно простые; г) простое и составное числа могут быть взаимно простыми; д) любое натуральное число и натуральное число, не являющееся ни простым, ни составным, обязательно взаимно простые; е) последовательные натуральные числа всегда взаимно простые?

В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй — 20 суток и третий — 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются и рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трем маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание?

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математика, 6 класс, Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., 2009 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Источник

Математика 6 класс Учебник Виленкин

• Отложите вправо от точки А отрезок АС, равный — единичного отрезка. Найдите Хо 7 координату точки С. Отложите от точки С влево отрезок CD, равный — Хо единичного отрезка. Найдите координату точки D. Как можно найти координаты точек С и D, не выполняя построений? 51 Суммы и разности дробей можно читать разными способами. Например: 5+3 3 5 — сумма ДВУХ третьих и трех пятых. — к ДВУМ третьим прибавить три пятых. — сумма дробей две третьих и три пятых. — — — — из ДВУХ третьих вычесть три пятых. 3 5 — разность дробей две третьих и три пятых. 319. Выполните действие: б) 5 + ^ 5 + I’ д) 7 + 0; 3 — 5= 3 4. з) е “ ,7» и) к) ? — 0: > 3 4 Л) J . 3 2 м) 4 + 9* 320. На координатном луче отмечены точки 1 и (рис. 16). Отметьте на луче точку с координатами: ,1 1. а) +

> т б) — — п т т -Н Рис. 16 321. Найдите значение выражения: ^>2+8’ б) i — Р 10 5’ 7 — П’ ч ^ А. 9 12’ ч А _ А. 12 20’ 6 + i’ 21 И. 15’ ч М А-22 55’ © 5 10 42 63’ ч 11 _ А. 21 35 ч А ^ А 24 60* 322. Замените десятичную дробь обыкновенной дробью и выполните действие: а) 0,5 + б) g + 0,75; в) ^ — 0,4; г) 0,95 — 52 to 323. Замените обыкновенную дробь десятичной и выполните действие: 20’ 4 а) 2,15 + б) I — 0,35. 324. Выполните действия ^ ^ в обыкновенных дробях, а потом в десятичных. 325. Выполните действия: 1 2’ 40 11 200 сначала ч 19 Г1 ^ 2 ^^20 I4 5 I’ to. 326. Выполните действие: , 11. йч 19 _ А. ч А + Ц. 20 30’ 60 45’ 48 36’ 327. Найдите значение выражения: . 11 16 30 45′ ч5^1^7. .3,11 2. g А л о’ 91’ б) I — I + 12’ J^. 12’ ч 1 . 1 1 г) ^ + 7 — 14 21 1. 7 9’ ч 13 18 24 — + ‘ 72 36 ®> 15 “ 11 + 20 ‘ ‘ ^ — V 328. Решите уравнение: 2 15 3 1 20 30’ 329. Найдите значение выражения: 1 4 ■ 5’ 5 3 ч ^ 4 _ 2 , 2. ^ 1?; -9 5’ «ч I 4 А ^ 13 _ 25. . ^ б) 1 5 ^1 90 ял’ я в) у ■ 5 5 20 8 3 . 10’ ч 2 (7 ^ 1 3 (9 “J 3′ в) I — 4 + 0,6; б) 0,8 — 0,3 — г) I + 0,4 — 0,6. 330. Найдите значение выражения: а) 8 + + Q + 12 8 12’ ггч ^ I ^ I ^ 1 ^ 6)iY+q + q+ TT 11’ 331. Используя свойство вычитания числа из суммы, найдите значение выражения: 12’ 15 53 332. Используя свойство вычитания суммы из числа, найдите значение выражения: 16 [l6 3J’ 24 333. Найдите значение выражения ^ -I- если а = 1; 2; 5; 7. X X 334. Найдите значение выражения ^2 “ если х = 4; 5; 6. 9 8 335. Петя играл в футбол ч, а в волейбол jg ч. Что больше заняло времени: игра в футбол или игра в волейбол — и на сколько? Сколько времени затратил Петя на обе игры? 336. Тракторист вспахал в первый час ^ поля, во второй час ^ поля и в третий час ^ поля. Какую часть поля вспахал тракторист за эти 3 ч? 337. В первый день асфальтом покрыли ^ км дороги, а во второй день — ^ км больше, чем в первый день. Сколько километров дороги покрыли асфальтом за эти два дня? 3 5 338. Длина прямоугольника ^ м, а ширина на g м меньше длины. Найдите ширину прямоугольника и его периметр. 11 17 339. В палатку привезли ^ т моркови и ^ т свёклы. К вечеру про- 50 14 дали ^ т привезённых овош;ей. Сколько тонн овош;ей осталось? 340. За первый месяц завод выполнил g годового плана, а за второй — на ^ годового плана меньше. Какую часть годового плана выполнил завод за два месяца? 341. При посадке овощей после одного дня работы остались незаса- 3 женными — га поля. Какая площадь осталась бы незасаженной, если бы в этот день овощи высадили на площади, большей на ^ га? 54 342. Два поезда вышли одновременно из двух городов навстречу друг 5 другу. Каждый час они приближались друг к другу на всего расстояния между городами. Какую часть расстояния между городами проходил за час один из них, если другой проходил за час ^ этого расстояния? 343. Из села в город одновременно вышли две автомашины: грузовая и легковая. Каждый час грузовая автомашина отставала от легковой на ^ всего расстояния от села до города. Какую часть этого расстояния про- ходила грузовая автомашина за 1 ч, если легковая за 1 ч проходила ^ этого расстояния? 344. Один комбайн может убрать всё поле за 6 дней, а другой — за 4 дня. Какую часть поля уберут оба комбайна за один день? 345. Один мотор израсходует полный бак бензина за 18 ч, а другой — за 12 ч. Какую часть полного бака израсходуют оба мотора, если первый будет работать 5 ч, а второй — 7 ч? 346. Вычислите устно: а) 12-8 б) 16-3 в) 1:2 г) 3,2-2 + 14 :12 •0,6 •5 :11 •13 + 6 :0,1 •15 + 38 :0,7 :1,5 :25 :18 -3,4 •0,01 ? ? ? ? Д) 3,5-Ь2,5 :20 •12 -3 •0,5 347. Найдите пропуш;енные числа: б) 348. Найдите значение выражения: а) 0,72-0,02; 6)32-17,5; в) 0,52 • 8; г) 2,6 : 0,12. 55 349. Значение какого выражения можно вычислить на микрокалькуляторе по программе: а) 0,82 0,4 2,9 0,2 [^; б) 0,25 0,16 1,36 3,5 Г^? Л 350. Древнегреческими учёными — последователями Пифагора от-крыты дружественные числа. Так они называли два числа, каждое Ы1из которых равно сумме делителей другого числа (не считая самого числа). Пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284. Проверьте, что эти числа действительно дружественные. 351. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: I п “ т1- 352. Сократите, а затем приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: ч ^ М М-90’ 99’ 44’ дч 40 42 100 ^ 64’ 144’ 180* 353. Запишите числа: 5 18 17 а) 3^, 17^, 9^ так, чтобы их дробная часть была правильной дробью; 5 18 33 б) 3|, 6^, llyY в виде натуральных чисел. Q 354. Запишите в виде неправильной дроби дробную часть чисел 3—, 1 7 5g’ уменьшив целую часть на 1. 355. В среду в шестом классе пять уроков по разным предметам: русскому языку, истории, математике, географии и физкультуре. Сколько вариантов расписания на среду можно составить для этого класса? 356. Решите задачу: 1) Из аэропорта вылетел самолёт со скоростью 600 км/ч. Через 0,5 ч вслед за ним вылетел другой самолёт со скоростью 750 км/ч. Через сколько часов после вылета второй самолёт будет впереди на 225 км? 56 2) С автовокзала вышел автобус со скоростью 60 км/ч. Через 0,5 ч вслед за ним вышла легковая автомашина со скоростью 75 км/ч. Через сколько часов после своего выезда легковая автомашина будет впереди автобуса на 45 км? tie ‘ ‘ 357. Решите задачу: 1) Пёс бросился догонять своего хозяина, когда тот отошёл от него на 0,9 км, и догнал его через 3 мин. С какой скоростью шёл хозяин, если пёс бежал со скоростью 0,4 км/мин? 2) Служебная собака бросилась догонять нарушителя границы, когда между ними было 1,8 км. С какой скоростью бежал нарушитель, если скорость собаки 19 км/ч и она догнгша его через 0,2 ч? 358. Выполните действия и проверьте ваши вычисления с помогцью микрокалькулятора: 1) (28,376 + 35,99 : 5,9 — 3,45 • 2,8) : 3,52; 2) (6,4 • 8,25 — 32,396 + 35,51 : 5,3) : 4,48. 359. Сравните дроби: ч 3 11. 5 » 20 = ч 1 4 . ЙЧ 3 8 . 5 ”1б = Ч 4 16. 7 “ 28 = «) I « А= П “ Й= X 37 38 . U5 » 175 = X 9 16 65 ^ 117′ 360. Выполните действие: в) 1. 3’ г) 3 4 + 2. ^ 5’ ж) i -ь i- 8^4’ ^ 12 9’ Н) 5,3. 9 4’ 2. 5’ д) 5 7 1. 6’ з) 2 5. 3 9’ ч 1 7 . 8 + Т2’ о) 23 3. 40 8’ 1. 4’ е) 3 4 1. 3’ и) 1 5 . 2 12’ ч 3 1. «) 4 — 6 = п) 9 3 35 28 361. Один трактор может вспахать поле за 14 ч, а другой — за 8 ч. Какой трактор больше вспашет: первый за 7 ч или второй за 5 ч? 362. Автобус проходит расстояние от города до деревни за 8 ч, а легковая автомашина — за 6 ч. Какое расстояние больше: пройденное автобусом за 5 ч или легковой машиной за 4 ч? 363. Слесарь может выполнить задание за 6 ч, а его ученик это же задание — за 8 ч. Какую часть задания они могут выполнить вместе за 1 ч? 57 364. Из пунктов Аи В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Один из них за 1 ч проходит ^ расстояния АБ, а другой — ^ рас- О О стояния АВ. На какую часть расстояния АВ они сближаются каждый час? 17 17 365. Периметр треугольника АВС равен ^ м. Сторона АВ равна ^ м, 9 сторона ВС на ^ м короче АВ. Найдите длину стороны АС. 366. В книге три рассказа. Наташа прочла первый рассказ за ^ ч, на чтение второго рассказа она потратила на | ч больше, а чтение т^его 7 рассказа заняло на ^2 ^ меньше, чем чтение первого и второго рассказов вместе. Сколько времени ушло у Наташи на чтение всей книги? 367. На решение задачи и уравнения Митя затратил ^ ч. Сколько времени выполняла эту работу Оля, если на решение задачи она затратила на 5 1 Y2 ч меньше, а на решение уравнения — на g ч больше, чем Митя? 368. Выполните действия: 11 -!] + &’ I — (ш + 11’ 369. Найдите значение выражения: 25 25’ б) 1-0,4-:^. 370. Дорога из села в город проходит через рабочий посёлок. Из села в город вышла легковая автомашина со скоростью 1,5 км/мин. В то же самое время из рабочего посёлка в город вышла грузовая автомашина со скоростью 1 км/мин. Через 20 мин легковая автомашина догнала грузовую. Найдите расстояние от села до рабочего посёлка. 371. Теплоход «Ракета» идёт по реке со скоростью 55 км/ч. Впереди теплохода идёт баржа со скоростью 25 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч, если сейчас баржа впереди теплохода на 50 км? 372. С железнодорожной станции в 12 ч вышел скорый поезд со скоростью 70 км/ч. На 3 ч раньше с этой же станции был отправлен в том 58 же направлении товарный поезд. В 16 ч скорый поезд догнал товарный. Найдите скорость товарного поезда. 373. Найдите значение выражения: а) 18,305 : 0,7 — 0,0368 : 0,4 + 0,492 : 1,2; б) (0,0288 : 1,8 + 0,7 • 0,12) • 35,24; в) (15,964 : 5,2 — 1,2) • 0,1; г) (21,62 • 3,5 — 52,08 ; 8,4) • 0,5. 374. Запишите числа: 12 37 а) 7 8 ^ ® виде натурального числа; 8 12 25 б) 4 2» 15-1^, 8-^ так, чтобы их дробная часть была правильной дробью. 5 13 8 375. Запишите дробную часть чисел 2-, 7 jg, 1 9 в виде неправильной дроби, уменьшив целую часть этих чисел на 1. 12. Сложение и вычитание смешанных чисел Переместительное и сочетательное свойства сложения позволяют привести сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и к сложению их дробных частей. 3 1 Пример 1. Найдём значение суммы 16 g + 19^. Решение. Приведём дробные части чисел к наименьшему общему знаменателю 8, затем представим смешанные числа в виде суммы их целой и дробной частей: 1б| = 1б+|; 19l=19§ = 19+|. Значит, 16^ +19^ =16 + ^ +19 + ^ = = (16 + 19) + f| + = 35 + I = 35|. 8 8 Пишут короче: 1б| + 19;| = 1б| + 19| =35|- 59 5 3 Пример 2. Найдём значение суммы 5g +3^- Решение. Сначала приводим дробные части данных чисел к наименьшему общему знаменателю 12, затем отдельно складываем целые и дробные части: ^6 ^4 ^12 ^12 ®12 ^12’ Чтобы сложить смешанные числа, надо: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; 2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части. При вычитании смешанных чисел пользуются свойствами вычитания суммы из числа и вычитания числа из суммы. Пример 3. Найдём значение разности 5^ “ Решение. Приведём дробные части к наименьшему общему знаменателю 18 и представим данные числа в виде суммы целой и дробной частей: 5Z = 511 14. 2I =2^ = 2+ ^ ^9 ^18 ^ 18’ «^6 ^^18 ^ 18 По свойству вычитания суммы из числа имеем: = 5 ^ — 2 — те = — 2) ^ Т5 = Пишут короче: б| — 2^ = 5^| — 2;^ = 3^. Если дробная часть уменьшаемого окажется меньше дробной части вычитаемого, то надо превратить в дробь с тем же знаменателем одну единицу целой части уменьшаемого. 4 5 Пример 4. Найдём значение разности Зтг — 1 «■ у о Решение. Приведём дробные части данных чисел к наименьшему общему знаменателю 18: 3I =зА- i5 ^15 ‘^9 ‘^18’ ‘ 6 ‘ 18‘ Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то уменьшаемое записываем так: 3— = 3— = 3+ — = 2 + 1 + — = 2+ — + — = 2+ — = 2—• ‘^9 ‘^18 18 1 18 ^18 18 «^18 «^18 60 Quo. -г i5 О 26 ^15 ^11 Значит, 3g — 1- =2:,^ — 1:^ = 1^. Обычно пишут короче: о4 i5_q_8_ -|15 _р26 -.15 ‘^9 6 ‘^18 ‘ 18 18 18 1-И. 18 Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить её в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть; 2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей. Расскажите, как сложить смешанные числа и на каких свойствах сложения основано сложение смешанных чисел. Расскажите, как выполнить вычитание смешанных чисел и на каких свойствах основано правило вычитания смешанных чисел. & 376. Выполните сложение: 0. а) 3^ + 5 3 . 14’ в)7§ +1§; Д)7§ + 4; ж) 7 + 3 5. 8’ б) 5I ^8 + 2 5 . 12’ r)l| +2§; е)8§ з) 1 *5 377. Выполните вычитание: а) 1 — 3. 4’ д)5-2§; и) 1^ 9 . 10’ Н) 10| — — 4 9 . 14’ © б) 2 — 5. 6’ е) 6 — 5§; к) 6^ 11. 15’ о) 4- 5I °9 > в) 9 — 11. 12’ ж) 8^ — 4; л) — 9 . 10’ п) 2-^ -^10 — 1 11. 15’ г) 7 — ч к 7 3 . ^^^15 20’ М)ТА 6 д. р) 5^ — 3^ • 378. Найдите значение выражения: а) 1 4 11 12 — 3^ — 1^-^15 ^30’ б) 2 — Л 33 22 J’ в) 6^ — f2| + 3A|; 12 Д) 13-8 12 + 117± е) Г63| + 3|] — (13 — 10|]; 61 *) — 2|) — (Sf + 6f] + (lof — 5f); 3) (20 — 19f] + (l7f — 17) + (2| — II]. 379. Выполните действие: a)2,4 + l|; 6)3,7-2|; в) — 6,2; r) 9^ — 1,8. 380. Решите уравнение: а) jc + 2jy =5; б) 2б| + a = 30; 2. 9’ д)з|1 — X = 1^ -Ь 1^* ^6 ^ ^ 9’ о 7 ч , 5 1 2 1 ‘ “ ^10’ е) г/ + 7 8 3 14 381. Найдите no формуле A = m — а) значение A, если m = 6^; 8^; 11; 3 5 б) значение m, если A = 6^; 3g; 0. 382. Школьный бассейн наполняется через первую трубу за 4 ч, а через вторую — за 6 ч. Какую часть бассейна останется наполнить после совместной работы обеих труб в течение часа? 383. Новая машина может выкопать канаву за 8 ч, а старая — за 12 ч. Новая машина работала 3 ч, а старая 5 ч. Какую часть канавы осталось выкопать? 7 384. От ленты длиной 8 м отрезали кусок длиной 3^ м. Найдите длину оставшейся части. РуД 5 385. Одна шахматная партия длилась ^ другая — g ч. Сколько времени длилась третья партия, если на все три партии было затрачено 3 ч? 386. Когда от верёвки отрезали кусок, то оставшаяся часть имела длину 2 м. Какой длины была бы оставшаяся часть, если бы от верёвки от- 2 3 резали на g м меньше? на ^ м больше? 387. Запишите все числа, знаменатель дробной части которых равен 12, большие 2^ и меньшие 3 62 388. На координатном луче отмечена точка А1 „ I (рис. 17). Отметьте т на луче точки, координаты которых равны: а) 1 + б) 2 — f; в) 2 + f; г) 1 + 1-. ^ П т п Рис. 17 389. Найдите периметр треугольника АВС, если АВ = з|м,ВС = 27МиАС = 2:|^м. 5 4 10 7 2 390. На одной машине т груза, а на другой — ^ меньше. Сколько тонн груза на двух машинах? 391. В одном ящике 5^ кг винограда, что на 2^ кг меньше, чем в другом ящике. Сколько килограммов винограда в двух ящиках? 7 392. На окраску оконных рам израсходовали 2 Jq кг краски, на окраску пола пошло 10II кг, а на окраску дверей потребовалось на 4^ кг меньше, чем на окраску пола. Сколько всего израсходовали краски? а». 19 393. Три бригады вырастили горох на площади 72^ га. Первая и вто- 20 3 рая бригады вырастили горох на площади 44 ^ га, а вторая и третья — на 9 площади 52^ га. Найдите площадь каждого участка. 394. На сахарный завод в понедельник привезли 2121 т свёклы, во 1 2 вторник — на 297 5 т больше, чем в понедельник, а в среду — на 114 ^ т меньше, чем во вторник и понедельник вместе. Из 7 т свёклы получается 1 т сахара. Сколько сахара получится из привезённой свёклы? 63 395. В трёх бидонах 10 л молока. В первом и втором бидонах было 6 ^ л, а во втором и третьем — молока. Сколько литров молока было в каждом бидоне? О 396. Теплоход по течению реки проходит 33 g км за 1 ч. Скорость течения 2^ км/ч. Найдите скорость теплохода против течения. 397. Скорость катера по течению реки 17^ км/ч, а против течения 12 4 км/ч. Какова скорость течения? 398. Федя и Вася шли навстречу друг другу. Каждый час расстояние 2 между ними уменьшалось на 8^ км. Найдите скорость Феди, если скорость Васи 3^ км/ч. Р.Х 399. Первый велосипедист догонял второго, причём расстояние между 3 ними уменьшалось каждый час на 2-^ км. С какой скоростью ехал первый велосипедист, если второй ехал со скоростью 12^ км/ч? §5 400. Найдите значение выражения: а) l| + 28 + 2^ + 5§ + ^ + 4|; б) 5§ — 3,15 + тЦ; 401. Вычислите устно: в) з| — (4 + 2il; -) <К2 + Ч] - ^ТГ а) 70:5 б) 15-6 в) 1,4 + 5,6 г) 1:4 Д) 4-3,4 •7 -18 :2 + 0,05 •1,4 -18 :12 -1,7 •7 + 0,06 :5 + 90 :0,3 + 3,4 :1,8 + 64 :16 •0,1 :5 •3 ? ? ? ? ? 64 402. Найдите пропущенные числа на рисунке: 403. Найдите натуральные значения /тг, при которых верно неравенство: . т 1 о 415. Найдите значение разности: в) 4 - 3 q; г) 7| - 5; 4 1 8 . а) 1 - 15>б) 3-^; д)45-44§; е)6^ -з|; 46 = 3) 1б| -4|; и) 19 А _ oil 12 °18‘ 416. Решите уравнение: a)l-fc=| + ^; б)« + 1= | + | 3’ в) X + 2« = 57 — 1я 8’ 66 417. Найдите значение выражения: 316 + 4 2 16’ «)6fl -ij: г)3^ -1^ +3i 2′ 418. Один тракторист вспахал ^ поля, а другой — ^ того же поля. Какую часть поля осталось вспахать? 419. Бочки горючего хватает для работы одного двигателя на 7 ч, а другого — на 5 ч. Какая часть горючего останется от полной бочки после 2 ч работы первого двигателя и 3 ч работы второго двигателя? 420. Для экспедиции, работающей в тайге, сбросили с вертолёта упаковку с продуктами, которая упала на землю через 3 с. С какой высоты 9 была сброшена эта упаковка, если в первую секунду она пролетела 4iq м, а в каждую следующую секунду она пролетала на 9^ м больше, чем в предыдущую? 421. Сколько времени пошло на изготовление детали, если её обрабатывали на токарном станке 2^ ч, на фрезерном станке 3^ ч и на сверлильном станке 1 ч? 422. Найдите значение выражения: а) 5,7 + 3| — 7|; б) 3^ + 4,6 — if 3′ 423. Из двух сёл одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились через 1,5 ч. Расстояние между сёлами 12,3 км. Скорость одного пешехода 4,4 км/ч. Найдите скорость другого пешехода. 424. Для приготовления варенья из вишни на 3 части сахара берут 2 части ягод (по массе). Сколько килограммов сахара и сколько килограммов ягод надо взять, чтобы получить 10 кг варенья, если при варке его масса уменьшается в 1,5 раза? 425. Найдите значение выражения: а) (44,96 -h 28,84 : (13,7 — 10,9)) : 1,8; б) 102,816 : (3,2 • 6,3) -Ь 3,84. 426. Решите уравнение: а) (х — 4,7) • 7,3 = 38,69; в) 23,5 — (2,3а -Ь 1,2о) = 19,3; б) (3,6 — а) • 5,8 = 14,5; г) 12,98 — (3,8л: — 1,3л:) = 11,23. 67 А Раздел математики, в котором изучаются свойства чисел и действий над ними, называют теорией чисел. Начало созданию теории чисел положили древнегреческие учёные Пи(раг6р, Евклид, Эратосфен и другие. Некоторые проблемы теории чисел формулируются очень просто — их может понять любой шестиклассник, но решение этих проблем иногда настолько сложно, что на него уходят столетия, а на некоторые вопросы ответов нет до сих пор. Например, древнегреческим математикам была известна всего одна пара дружественных чисел — 220 и 284. и лишь в XVIII в. знаменитый математик, член Петербургской академии наук Леонард Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел (одна из них — 17 296 и 18 416). Однако до сих пор не известен общий способ нахождения пар дружественных чисел. Было высказано предположение, что любое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел. Например: 21 = 3 + 7 + 11, 23 = 5 + 7 + 11 U т. п. Подойти к доказательству этого предположения сумел лишь 200 лет спустя замечательный русский математик, академик Иван Матвеевич Виноградов (1891—1983). Но утверждение «любое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел» (например: 28 = 11 + 17, и. м. Виноградов 56 = 19 + 37, 924 = 311 + 613 и т. д.) до сих пор не доказано. л. Эйлер §3. Умножение и деление обыкновенных дробей 13. Умножение дробей 3 Задача 1. В бутылке ^ л сока. Сколько сока в 5 таких бутылках? 3 Решение. Для решения задачи надо найти произведение ^ • 5. Но умножить ^ на натуральное число 5 — значит найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно 3 с:_3 3 3 3 3_3 + 3 + 3 + 3 + 3_3-5_15_оЗ 4’^44444 4 4 4 4′ 3 Значит, в 5 бутылках 3 ^ л сока. 68 Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. © 4 2 Задача 2. Длина прямоугольника g дм, а ширина ^ дм (рис. 19). Чему равна площадь прямоугольника? Решение. Из рисунка видно, что данный прямоугольник можно получить так: разделить одну сторону квадрата со стороной 1 дм на 5 одинаковых частей и взять 4 такие части, а другую сторону разделить на 3 одинаковые части и взять 2 такие части. При таком делении квадрат будет состоять из 15 равных частей, а прямоугольник будет состоять из 8 таких частей. Значит, площадь прямоугольника равна 8 15 дм^. Но мы знаем, что площадь прямо- угольника равна произведению длины и шири- g ны. Следовательно, число :j^ можно получить 4 2 умножением g на g- М 4 2_4-2_8 5 ‘ 3 5-3 15 Чтобы умножить дробь на дробь, надо: 1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; 2) первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем. Обычно вначале обозначают произведение числителей и произведение знаменателей, затем производят сокращение и только потом выполняют умножение. В ответе, если это возможно, из дроби исключают целую часть. Например: 4 14 ^ 4-14 ^ 4-2 8 . 3. 3 4 3-4 7 ■ 15 “ 7-5 “ 5 = 8 = 1 3. 3 _ 5 ‘ 5’ 8 ■ 15 8-15 1 2-5 J_ 10’ Задача 3. Сколько километров проедет велосипедист за 1 ч, если бу- 3 дет двигаться со скоростью 9 g км/ч? Решение. Так как пройденный путь равен произведению скорости и 3 5 времени, то для решения задачи надо найти произведение чисел 9g и 1 :j^- 69 Представим каждое из этих чисел в виде неправильной дроби: q3 _ М. ^5 “ 5 ’ 1 J_ _ Г7 ‘ 12 12’ Теперь воспользуемся правилом умножения дробей. Получим: пЗ ^ А _ 48 17 _ 48-17 ^5 ‘ ‘ 12 5 ‘ 12 5-12 4-17 _ 68 _ .„З 5 5 ^’^5′ 5 3 Таким образом, за 1 ^2 ^ велосипедист проедет 13 ^ км. Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей. С помощью умножения дробей решают такие же задачи, как и с помощью умножения натуральных чисел. Задача 4. За 1 ч автоматическая линия производит ^ ц пластмассы. 3 Сколько пластмассы линия производит за ^ ч? Решение. Такие задачи с натуральными числами или с десятичными дробями мы решали с помощью умножения. Рещим и эту задачу умножением: и 25 33 100’ 3 33 Итак, за ^ ч производится ц пластмассы, т. е. 33 кг. Тот же ответ можно получить, если выразить данные числа в десятичных дробях: = 0,44, ^ = 0,75, 0,44 • 0,75 = 0,33, но 0,33 ц = 33 кг. Умножение дробей обладает переместительным и сочетательным свойствами. Кроме того, для любого значения а: а‘0 = 0*а = 0;а-1 = 1 • а = а. Например, | • 0 = 0, ^ ^ ^ ^ • Расскажите, как умножить дробь на натуральное число. J Расскажите, как выполнить умножение двух дробей и как выполнить умножение смешанных чисел. Какими свойствами обладает действие умножения дробей? Запишите свойства нуля и единицы при умножении. 70 15 427. Выполните умножение: а) I • 2; в) ^ • 40; д) | • 30; ж) | • 1; © б) ^ • 12; г) I ■ 24; е) • 11; з) 2Q ■ 0- 428. Сторона квадрата — м. Найдите периметр квадрата. О 429. В одну банку помещается — кг крупы. Сколько этой крупы вме- 25 стят две, пять, десять таких же банок? 430. Найдите периметр треугольника АВС, если АВ = А м, ВС боль- 15 ше АВ в 4 раза, а АС меньше ВС на — м. ^ 15 431. Выполните умножение: а) — ч • 2; б) А ч • 5; в) — ч * 6; г) А ч • 5. ‘ 3 15 6 12 432. Станок-автомат изготовляет одну деталь за А мин. За сколько л. ^ минут станок изготовит 3 детали, 4 детали, 60 деталей? Произведение дробей, квадраты и кубы дробей можно прочитать так: 3 16 g • ^ — ТРИ восьмых умножить на шестнадпать двадцать первых. — произведение чисел три восьмых и шестнадцать двадцать первых. — произведение трёх восьмых и шестнадцати двадцать первых. — квадрат пяти седьмых. — пять седьмых в квадрате. 5 I — куб ДВУХ пятых. — две пятых в кубе. 71 % 433. Выполните действие: а) 3 4 5. 7’ г) 2 5 7 . 11’ ж) 2 5 3. 2’ к) 12 25 9 . 16’ б) 1 3. д) 1 4. з) 11 3 л) 14 34. 8 ’ 4’ 2 9’ 15 -5’ 17 63’ в) 4 5. е) 11 8. и) 15 5. м) 17 13. 7 6’ 12 9’ 16 9’ 26 18’ н) 111: (!]’ п) IyI- 434. Сторона квадрата g м. Чему равна площадь квадрата? 3 435. Найдите объём куба, ребро которого ^ м. 436. Масса 1 л керосина составляет ^ кг. Какова масса ^ л, ^ л, | л керосина? 3 437. Автомашина движется со скоростью ^ км/мин. Какой путь пройдёт автомашина за | мин; за ^ мин? 438. Найдите значение выражения двумя способами: по правилу умножения обыкновенных дробей и по правилу умножения десятичных дробей. Сравните результаты. 1 3 439. Найдите произведение 2^4′ Проверьте результат, представив эти числа в виде десятичных дробей. 440. Представьте первый множитель в виде обыкновенной дроби и вы- 4 5 ните умножение: а) 0,75 • д’, б) 0,8 • g. 441. Представьте первый множитель в виде десятичной дроби и вы- 1 3 полните умножение: а) ^ • 0,3; б) ^ • 6,4. 3 2 5 7 5 2 442. Выполните действия: Ю 5 ‘ у ’ 5^ То 49 3’ jP^x 2 3 443. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны ^ дм, ^ дм 25 и дм. Найдите его объём. 72 444. Представьте в виде произведения двух дробей число: ч 1 , ^ч 3. 41^ а) 6’ 6)4’ 8’ 445. Найдите значение выражения: г)Гз^-2| о’к Га ^ 3^. 12. ll2 sj 19’ 6 ( П _ 7 ll8 12J’ 12 7 12 Д)|6т^-5ё ч 2 _9_ _ А 3 ’ 16 24 li- -1; 6 12 J’ fiA 10 Г17 17 2 1 5 6’ fie 446. Выполните умножение: ч 1 2 1 1. 1 7 * ^ 4 ’ 9 3 . 4 . Д)2 4 ч 08 1 ‘i’ • “^»6 ^23’ н) 0 • 11; йч ^ 2 2. б)4з • 5» ч 1 3 1 5. е) I4 ■ ly» К)1§ О) if • 1; в)1§ -з|; ж) з| -4; п)з| -0. г) ^ • 2^* П 9 ^4» 3) 10 • б|; м)2| -2^; Sti 447. Найдите по формуле пути s = vt значение s, если: 11 3 5 а) и = 92 км/ч, t = 4-2 ч; 6)u = 3g м/мин, t = -^ мин. 448. Найдите по формуле объёма прямоугольного параллелепипеда V = аЬс значение V, если о- = ^ Дм, Ь = 2^ дм, с = Ij дм. 449. Найдите массу металлической детЕши, объём которой равен 31 дм^, если масса 1 дм^ этого металла равна 7 ^ кг. 450. Два велосипедиста выехали одновременно из одного и того же пункта и двигались в одном и том же направлении. Скорость первого велосипедиста 12км/ч, а скорость второго в 1^ раза больше. Какое расстояние будет между ними через 1 ^ ч? 73 Р»х » 451. Маша и Вера вышли из двух сёл навстречу друг другу. Маша шла со скоростью 3 км/ч, и её скорость была в 1 ^ раза меньше скорости Веры. Через 1^4 девочки встретились. Найдите расстояние между сёлами. 452. Во дворе заливали каток с помощью двух шлангов. Через первый g м*^ воды, а через второй — 2^ шланг за 1 ч поступало 2^ м^ воды, а через второй — 2 4 м®. Первым шлангом каток заливали 11 ч, а вторым — ® 1 f раза дольше. Сколько воды израсходовали на заливку катка? 453. С первого поля, площадь которого 57 ^ га, собирали с 1 га по 32 ^ ц пшеницы, а со второго поля, площадь которого в 1 ^ раза больше площади первого поля, собирали по 36^ ц пшеницы с 1 га. Сколько всего центнеров пшеницы собрали с этих двух полей? 454. Найдите значение выражения: б и. ^^^18 7 ^9’ ■1 ((■«’ -1) ■ ■«§ б) (41-4-If г) (4″ 4 — 2|) • ^ 455. Вычислите устно: а) 14-Ь49 :3 + 59 :20 б)125-20 :50 •140 — 196 в) 0,5-8 + 1,2 — 2,5 :3 г) 6-0,9 + 2,7 — 0,9 :8 Д) 0,6-5 + 2,4 -3 :0,8 а) 456. Найдите пропущенные числа: ОЮ -■j б) О 74 l^J 457. Сумму данных дробей сложите с их разностью. Попробуйте догадаться, как быстрее и проще получить ответ: ч 2 1 . «ч 1 1 5 “ 10= б) 4 “ 6- 2 458. Представьте дробь а) в виде разности двух дробей со знаменателем 3; 18; 21; б) в виде суммы двух дробей со знаменателем 3; 9; 12. 2 459. На координатном луче (рис. 20) отмечены дробь — и число а. Покажите, где расположены на луче точки f)’

f)’ 2 о 7 О. 460. Рис. 20 Кто быстрее? Найдите в таблице последовательно все числа от 1 до 25: 24 6 18 2 13 20 15 9 22 5 3 25 12 19 11 10 23 7 1 16 17 4 21 14 8 11 19 3 16 7 23 6 13 9 22 25 20 18 2 15 8 17 4 12 21 14 1 24 10 5 Li=^461. Найдите значение выражения: а)7| +5§: г) 20| -2|; ж) (f + 3i) — (й-i: б)б| — if; д)3э| -4i; •>(«А-4) -(4- s) +4^; е) 11§ + 8|; ^0^^462. В алфавите племени аоку всего 6 букв — А, К, М, О, Р, У. Все слова в языке этого племени состоят из четырёх букв. Какое наибольшее 75 число слов может быть в языке племени аоку? В скольких из этих слов буквы не повторяются? 3 463. На складе было 8 т зерна. Сколько зерна стало на складе после 1 7 того, как привезли 2 g т, а затем увезли 3 g т? 464. Сколько килограммов составляют: а) 1% центнера; б) 7% центнера; в) 2,5% центнера? 465. Сколько квадратных метров составляют: а) 1% гектара; в) 15% ара; б) 3,5% гектара; г) 0,07% квадратного километра? 466. Запишите, какую часть числа составляют: 1%, 3%, 15%, 25%, 10%, 20%, 50%. 467. Запишите в виде десятичной и в виде обыкновенной дроби: 35 %, 48%, 75%, 110%, 125%. Образец записи: 5% =0,05 = 100 20 fie 468. Запишите в виде процентов: 7; 0,7; 0,12; 7; Образец записи: ^ =0,06 = 6%. 469. Решите задачу: 2 1) Задание рабочие выполнили за три дня. В первый день они сделали 7 1 ^ всей работы, во второй день — g всей работы. Какую часть всей работы они выполнили в третий день? 2) Поле было засеяно за три дня. В первый день была засеяна 4 всего 3 ” поля, во второй день — g всего поля. Какая часть всего поля была засеяна в третий день? 470. Решите уравнение: , л 8 — 1. а) л: — 6q = I7; б) 14| -!/ = 10|. fi6 471. Упростите выражение: 1) 3,7л: + 2,6у + 1,6л: + 4,8г/; 2) 4,5т + 1,9п + 3,3т + 4,3/г. 76 472. Выполните умножение: 9 10 5. 6’ .57 74. 37 ’ 86’ и) ^ • 39: 6 25 20. 21’ ч 81 46. 115 ‘ 81’ к) 5 • 2^; 17 30 26. 51’ ж) ^ • 4; ^5 ‘ ^ 9’ 40 7 14. 5 ’ 3) 23 • м) 4| • 2; 473. Найдите значение выражения: 2 gm, , если т = 1. 2. „1. il. 2’ 5’ ^ 2’ ^ 8’ 15. 16’ 4 9^, если X = л 1 4’ 9’ ^2′ н) • 6 ® 15 25 [3 43 ч о 2 1 9 . о) 2 ПС ■ 11 л’ гг\ 11 .я1-ля °9А 11’ 16’ J_ 26’ 474. Скорость улитки м/мин. Какое расстояние проползёт улитка @ 475. Найдите объём прямоугольного паргитлелепипеда, измерения ко-4 3 1 торого равны g м, ^ м, 2 м. 476. Масса 1 дм^ стали равна 7^ кг. Найдите массу стального куба, ребро которого 2^ дм. 5 477. Колесо делает 27 g оборота в минуту. Сколько оборотов оно со- 1 2 вершит за 3 мин; за 1 мин; за g мин? 478. Выполните действия: в) f2|T ‘ ^ 1 2 + I _ 5 5? ^ я Л 1 — 17 J’ ■§= 77 -2-5-1 2lJ •(2,7-2,!); ж) 7 11 13 4 \ з) ( 7 18 ‘ -Ч) ■ U 1?J’ 12 1^7 3 5 16 24 479. Выразите обыкновенной дробью: 26 %, 45 %, 80 %, 90 %. 3 7 3 480. Запишите в виде процентов: 0,23; 0,4; 0,07; 481. Моторная лодка догоняет плот. Сейчас расстояние между ними 35 км. Скорость плота 2,5 км/ч, а скорость моторной лодки 9,5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через t часов, если t = 0,5; 3; 5? 482. Решите уравнение: а) 9,5л: — (3,2л: + 1,8дс) + 3,75 = 6,9; б) 11,31/ — (9,71/ — 0,8i/) + 7,4 = 17. 483. Выполните действия: 7,72 • 2,25 — 4,06: (0,824 + 1,176) — 12,423. 14. Нахождение дроби от числа Задача 1. Путешественник прошёл за два дня 20 км. В первый день он 3 прошёл этого расстояния. Сколько километров прошёл путешественник в первый день? 1 3 Решение. Длина ^ пути равна 20 : 4 = 5, т. е. 5 км, а длина ^ пути рав- 3 на 5 • 3 = 15, т. е. 15 км. Тот же ответ получится, если 20 умножить на т. е. 20-| = ?^=5-3 = 15. Ответ: 15 км. 4 Задача 2. Огород занимает ^ всего земельного участка. Картофель 2 занимает ^ огорода. Какую часть всего земельного участка занимает картофель? 78 Решение. Изобразим весь земельный участок в виде прямоугольника ABCD (рис. 21). Из рисунка видно, что участок, занятый картофелем, 8 т занимает jg земельного участка. Тот же ответ 4 2. можно получить, если умножить ^ на д- 4 2 5 ‘ 3 4- 2 5- 3 _8_ 15’ D Ответ: jg всего земельного участка. 3 2 4 В первой задаче мы находили ^ от 20, а во второй — з s’ Такие задачи называют задачами на нахождение дроби от числа и решают их с помощью умножения. I Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь. Решим ещё две задачи на нахождение дроби от числа. Задача 3. Путешественник прошёл за два дня 20 км. В первый день он прошёл 0,6 всего пути. Сколько километров прошёл путешественник в первый день? 0 Решение. Так как 0,6 = то для решения задачи надо умножить 20 на Получим 20 ’ = 12. Значит, в первый день путешественник прошёл 12 км. Тот же ответ получится, если умножить 20 на 0,6. Имеем: 20 • 0,6 = 12. Задача 4. Огород занимает 8 га. Картофелем занято 45% площади этого огорода. Сколько гектаров занято картофелем? Решение. Так как 45% = 0,45, то для решения задачи надо умножить 8 на 0,45. Получим 8 • 0,45 = 3,6. Значит, картофелем занято 3,6 га. Сформулируйте правило нахождения дроби от числа. Расскажите, как найти несколько процентов от числа. 79 484. На рисунке 22 изображён отрезок АВ, разделённый на 12 равных частей. Определите по рисунку, какую часть составляет: а) отрезок AM от отрезка АВ; б) отрезок AM от отрезка АС; в) отрезок AM от отрезка AN; г) отрезок AN от отрезка АВ; д) отрезок AN от отрезка АС; е) отрезок АС от отрезка АВ. М N Рис. 22 N F 485. На рисунке 23 изображён квадрат ABCD, разделённый на 16 равных частей. Определите по рисунку, какую часть составляет: а) квадрат AEFP от квадрата ABCD; б) квадрат AEFP от квадрата AMNK; в) квадрат AMNK от квадрата ABCD. D Рис. 23 486. Найдите: а) 1 от 12; ч 5 4 . 8 25’ ж) 0,2 от 0,8; к) 35% от б) 1 ОТ 64; д) 0,4 от 30; з) 0,7 от 4,2; л) 42% от в) 1 9 . 3 16’ е) 0,55 от 40; и) 30% от 50; м) 65% от 487. В книге 140 страниц. Алёша прочитал 0,8 этой книги. Сколько страниц прочитал Алёша? 4 488. В книге 140 страниц. Володя прочитал ^ этой книги. Сколько страниц прочитал Володя? 489. В книге 140 страниц. Максим прочитал 80% этой книги. Сколько страниц прочитал Максим? 490. Плогцадь одной комнаты 21 м^, а плогцадь второй комнаты со- ‘ 3 ставляет у плош;ади первой комнаты. Найдите площадь двух комнат. 80 491. У брата и сестры 90 марок. Сколько марок у сестры, если у брата 0,3 всех марок? 492. Масса овцы 86,5 кг. Масса одного ягнёнка составляет 0,2 массы овцы. Какова масса овцы с шестью одинаковыми ягнятами? 5 493. На школьной выставке 72 рисунка. Выполнены акварелью g всех рисунков, а 0,25 остальных — карандашами. Сколько карандашных рисунков на выставке? 494. Проложено 75% газопровода, длина которого будет 102,8 км. Сколько километров газопровода осталось проложить? 0 495. Длина комнаты 6 м. Ширина составляет ^ длины, высота состав- ляет 0,6 ширины. Найдите площадь и объём этой комнаты. 496. Площадь огорода 0,04 га. Капустой засажено 0,8 огорода, а остальная часть — другими овощами. Сколько гектаров засажено другими овощами? 497. Число жителей города 750 тыс. человек. Ежегодно население в нём увеличивается на 2%. Сколько жителей будет в городе через год? через два года? 498. По норме рабочий должен изготовить 45 деталей. Он выполнил норму на 120%. Сколько деталей изготовил рабочий? 499. Глубина горного озера к началу лета была 60 м. За июнь его уровень понизился на 15%, а в июле оно обмелело на 12% от уровня июня. Какова стгша глубина озера к началу августа? 500. В первый день Ира прочитала | всей книги, во второй — ^ оставшейся части. Какую часть всей книги Ира прочитала во второй день? Какую часть книги Ира прочитгша за два дня? 501. В овощную палатку привезли 8^ т картофеля. В первый день продали 0,6 всего привезённого картофеля, а во второй день продали ^ того количества, которое было продано в первый день. Какая часть всего привезённого картофеля была продана во второй день? Сколько тонн картофеля было продано во второй день? 81 502. На автобазе были грузовые и легковые автомашины. Грузовые ав-5 2 томашины составляли g всех машин, ^ легковых автомашин были «Вол- * Москвичи». Какую часть всех машин ги», а остальные автомашины автобазы составляли «Москвичи»? 503. До обеда путник прошёл 0,75 намеченного пути, а после обеда он прошёл I пути, пройденного до обеда. Прошёл ли путник за день весь намеченный путь? 504. На ремонт тракторов в зимнее время было затрачено 39 дней, а на ремонт комбайнов — на 7 дней меньше. Время ремонта прицепного инвентаря составило ^ того времени, которое ушло на ремонт комбайнов. На сколько дней больше длился ремонт тракторов, чем ремонт прицепного инвентаря? Мх 505. В первую неделю бригадой было выполнено 30% месячной нормы, во вторую неделю — 0,8 того, что было выполнено в первую неделю, а в третью неделю — | того, что выполнили во вторую неделю. Сколько процентов месячной нормы осталось выполнить бригаде в четвёртую неделю? 506. Найти несколько процентов от числа можно с помощью микрокалькулятора. Например, найти 32,5 % от числа 6,24 можно по программе 6,24 [ X I 32,5 [ % [ [ = [. Выполните действия по этой программе. Найдите с помощью микрокалькулятора: а) 0,5% от 18,24; б) 97% от 16,8. Л, 507. Вычислите устно: а) 100-89 б) 80-4 в) 0,7-0,7 г) 2,8:7 Д) 0,72:3,2 •6 + 180 + 0,08 •8 + 3,2 -12 :25 -0,29 + 2,4 :5 :6 •14 :2 :0,7 •0,7 ? ? ? ? ? 508. Нгшдите значение выражения: а) (ij; б) «) (II — (II- 82 2 111 509. К какому числу надо прибавить 5, чтобы получить 1; 1^; 1^? 510. Найдите пропущенные числа: а) 511. Папа начинает работу в 7 ч 15 мин, а мама — в 9 ч. Когда заканчивает работу каждый из них, если рабочий день папы 8 ч 15 мин и 3 перерыв на обед 1 ч, а рабочий день мамы 7 ч и перерыв на обед j ч? « 512. Нужно срочно доставить 9 пакетов в пункты, указанные на плане звёздочкой (рис. 24). Посыльный, посмотрев на план, быстро сообразил, как ему ехать. Он вручил пакеты, объехав пункты, ни разу не проезжая дважды одним и тем же путём. Какой маршрут выбрал посыльный? 513. Выполните действие: 1 3 1 б) + h г)2| ж) ^ • 5; «)25 1. 4’ д)3- зП • i* 9 5’ ■ + й- 1 ^ ^ 3’ ч 2 е) g 3. 4’ ч 1 1 3. И) I3 • 4, ^5 514. Найдите значение выражения: .1 .3 16 , A./ii. 4 * 4 ‘ 57 [‘^4 ^3 ) 21 27 ^2’ б) 11 + I 23| — 15| ■ i — I- 83 515. Между какими последовательными натуральными числами рас- ,1 о 7 40 54« положены числа 1 05 Зо» ttf* ^ о < Z0 516. Найдите какие-нибудь три решения неравенства: а) JC 7 9. 5’ в) 3 ■ I • 4 • i • 5 • I ■ 6 • 2^ 554. Вычислите: а) ; б) в) j^l - |j. 555. От какого числа надо отнять чтобы получить 4 1.1. 5. 11. 1 7_о 8’ 8’ 12’ 18 90 556. Подумайте, как из числа, записанного в центре (рис. 27), можно получить числа, записанные в кружках. Рис. 27 557. Москва основана в 1147 г., а Санкт-Петербург — в 1703 г. Сколько лет Москве и сколько лет Санкт-Петербургу? На сколько лет Москва старше Санкт-Петербурга? 558. Подсчитайте по модели, сколько граней, вершин, рёбер у треугольной пирамиды; у четырёхугольной пирамиды. Попробуйте догадаться, сколько граней, вершин, рёбер у шестиугольной пирамиды. 559. Куплено 15 кг яблок. На приготовление варенья израсходовали 2 - купленных яблок. Сколько килограммов яблок было израсходовано на О варенье? Сколько килограммов яблок осталось? 560. В баке автомобиля 60 л бензина. За день было израсходовано 25 % этого бензина. Сколько бензина израсходовали? Сколько бензина осталось в баке? 561. В саду 30 плодовых деревьев. Яблони составляют 0,6 всех деревьев. Сколько яблонь в саду? Сколько в саду других плодовых деревьев? Саб U ‘ 562. Турист прошёл в первый день - всего намеченного пути. Причём О 2 до обеда он прошёл - пути, пройденного за этот день. Какую часть всего О намеченного пути прошёл турист в первый день до обеда? 91 563. В первый день со склада вывезли 40% имевшегося там угля. Во второй день было вывезено 75% остатка. Сколько процентов всего имевшегося на складе угля вывезли во второй день? Сколько процентов всего имевшегося там угля осталось? ' * 564. В магазин привезли 658 кг персиков. В первый день продали 2 - всех персиков, а во второй день — 0,3 оставшихся персиков. Сколько килограммов персиков продали во второй день? а) 565. Найдите значение выражения: 21 5 3 4 . 25 16 15’ ч 1к2 1 5 , д 10 в) 15д -1^+6-^ з5- d 8» Д) 7 «л с А . ± _ о5 . А. ^ л 1/1’ 12 13 “8 14 566. Выполните действия: 1) (3,52 : 1,1 + 6,2) • (7,2 - 4,62 2) (2,86 : 2,6 - 0,8) • (3,4 + 7,04 ¥1 567. Выполните умножение: г)15| -4§ А _ М 7 35 2,2); 3,2). а) 7— • ' 13 2; в) 8^ -5; Д)б| • 2; б) 5-^ • ^16 8; г)5-з|; е)9§ • 9. 568. Найдите значение выражения: а) И- • 5; •15^ -3-i-^ 13 б) • 34; Д) (2| . 1^- ^11’ 41’ в) 8^ 5 —* »4’ ч 1 2 e)lg 14 7J 569. Упростите и найдите значение выражения: 5 3 2 7 ja + а при а = 4^; >3 1 ^ 2 4. -gU + У — 4У при у = 2д; 9’ 13 3 1 о 1. ^ 1 — 4/71-1- 12^ ^ — 2 2’ 6 4 134 13 9 г) gX+ ^х- дХ при л: = 1^» 92 3 1 570. Турист шёл 3 ч со скоростью 4-^ км/ч и 3 ч со скоростью 4-^ км/ч. Сколько километров прошёл турист за эти 6 ч? 7 571. В первом яш;ике 12 Jq кг сахара, а во втором — в 2 раза больше. 2 Сколько сахара будет во втором ящике, если в него положить ещё 2 ^ кг? 572. Олег решал уравнение в течение ч. Задачу он решал на ^ ч дольше, чем уравнение. Сколько времени Олег решал уравнение и задачу? 2 573. После удачной рыбалки Костя принёс домой 1,4 кг рыбы. Из j этой рыбы сварили уху, а 80 % оставшейся — поджарили. Сколько рыбы поджарили? 4 574. В первый день маслобойня переработала g поступившего количества семян подсолнечника, во второй день — 0,6 остатка. Сколько тонн семян подсолнечника переработала маслобойня за эти два дня, если было привезено с т семян? Найдите значение получившегося выражения при с = 90; 63. 575. Фабрика выпустила т м ткани трёх цветов: голубого, зелёного и чёрного. Ткань голубого цвета составляла 30% всей выпущенной ткани. Ткань зелёного цвета составляла 0,8 количества ткгши голубого цвета. Сколько метров ткани чёрного цвета выпустила фабрика? Найдите значение получившегося выражения при т = 5520; 22 000. 576. Найдите значение выражения: а) (3,75 : 1,25 — 0,75) : 1,5 + 0,75; б) (14 — 12,725) • 12,4 — 2,6 : (11,2 — 7,95). 16. Взаимно обратные числа Если умножить ^ на то получится 1: 15 8 _8_ 15 15 _ 8 • 15 8 15 • 8 = 1. 1 0^ 7R Точно так же 1 получится при умножении 7 на ^ на и т. д. 7 75 £.6 Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными. 93 Значит, взаимно обратными будут числа ^ \л^,7 \л II и Числу 10 о I do о где а о и Ь ^6 о, обратно число а _ а Ъ аЬ ^ В самом деле, — • — = ^ 5 Пример 1. Найдём число, обратное числу 3g. Решение. Запишем число 3§ в виде неправильной дроби; 6 о5 _ 3-6 + 5 _ 23 ‘^6 6 6 ■ 5 6 Значит, обратным 3^ будет число 5 Пример 2. Найдём значение произведения 7 3’ „ 5 3 7 5 Решение, ’ у ‘ з = 3 Z^l = А 1 = А 7‘3j 11 ‘ 11’ Значит, если число х сначала умножить на некоторое число а, а потом умножить на число, обратное а, то получим опять х. #1^ Какие числа называют взаимно обратными? ■ Как записать число, обратное дроби ъ Как записать число, обратное натуральному числу? — Как записать число, обратное смешанному числу? 577. Будут ли взаимно обратными числа: а) т| и в) 0,2 и 5; д) з| и 2|; б) 48 и —: г) 2,5 и 0,4; е) О и 1? 578. Найдите число, обратное числу: Ч 7 . .11. in’ 4 ’ б) 5; л 8. 9’ е) 3) 1,25. 579. Найдите значение выражения: , 77 i. W 1 81 ^ 5’ б) 3,4 • I • I 7’ в) П 12 5,6 94 580. Решите уравнение: а) jx = 1; в) 0,8а = 1; ч 8 ^ _ 8 19^ 19 1 б) 2Qy г) 0,7Ь = 1; ч 12 12 Ti'» т 581. Вычислите устно: а) 200-101 б) 200-5 в) 3-0,3 г) 0,45:9 Д) 5,6:0,7 :3 -130 + 4,1 -6 :20 + 37 :29 :100 + 2,7 + 4,8 :5 -Ь270 -20 :0,01 :26 ? ? ? ? ? 582. Представьте в виде неправильной дроби: li;lf;2i;5A; 3. 3 583. Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения ^ х, 1 2 2 если X = 1; 1^; 584. Верно ли выполнены вычисления: а) 16 • 2^ = 16 • 2 + 16 : 2 = 32 + 8 = 40; Li б) 42 • 4^ = 42 • 4 + 42 : 3 = 168 + 14 = 182; О в) 72 • т = 72 — 72 : 4 = 72 — 18 = 54; 4 г) 84 • I = 84 — 84 : 6 = 84 — 14 = 70? Ответ объясните. 585. На озере находятся 7 островов, которые соединены между собой мостами так, как показано на рисунке 28. На какой остров должен доставить катер путешественников, чтобы они могли пройти по каждому мосту и только один раз? С какого острова катер должен снять этих людей? Почему нельзя доставить путешественников на остров А? 95 586. Выполните умножение: а)3| -5; 6)7i -4; в)2|-4; -Be 587. Найдите значение выражения: Д) (I а) 1 4 4. 9’ в)2§ ■ 5. 6’ б) 1 „ 1 2 ‘ 7 ■ 2 3’ ч ‘■) 5 + 15 ч 1 2 3; Д)2^.6. 3. 4’ 588. За три дня турист прошёл 40 км. В первый день он прошёл 40%, а во второй день — 30% всего пути. Сколько километров прошёл турист в третий день? ой 589. Среднее арифметическое трёх чисел равно 3,1. Найдите эти числа, если второе число больше первого на 0,9, а третье число больше первого в 2 раза. ^590. Выполните действия: 1) (7,061 : 2,3 — 2,2) • (4,2 + 17,391 : 5,27); 2) (3,7 + 14,058 : 6,39) • (23,641 : 4,7 — 4,6). 591. Найдите числа, обратные числам: 10. 12, JJ_. W, 41. 27’ 59’ 98’ 122’ 315’ 3 ’ 8 ’ б) 11^; 80; 100; 1; 0,5; 1,2. 592. Выполните действия: а) ^ ■ 8^: б) 1J3 • 3^; в) 0,2 1з; д) (0,2 + 0,4) • 3- г) 0,8 ■ 593. Положили сушить 150 кг вишни. После сушки их масса уменьшилась на 80 %. Сколько килограммов вишни получилось после сушки? 594. Среднее арифметическое четырёх чисел 2,75. Найдите эти числа, если второе больше первого в 1,5 раза, третье больше первого в 1,2 раза и, наконец, четвёртое больше первого в 1,8 раза. 595. Найдите значение выражения: а) 208,57 — 108,57 : ((60,4 — 57,6) • (3,6 + 3,45)); б) 565,3 — 465,3 : ((1,25 + 5,8) • (55,8 — 49,2)). 96 17. Деление Задача. Площадь прямоугольника у м^. Длина одной стороны ^ м. Найдём длину другой стороны. Решение. Обозначим длину другой стороны через х м. По формуле площади прямоугольника должно выполняться равенство J л: = у. Умножим 4 3 обе части равенства на число обратное числу —. Так как произведение 3 4 5 4 20 — • 2 равно 1, то получим, что х = — • или х = Таким образом, длина 20 другой стороны прямоугольника равна м. 3 5 В ЭТОЙ задаче мы нашли неизвестный множитель в произведении ^ • х = j. По смыслу деления это число равно частному от деления числа j на чис- 3 ло Видим, что это частное равно произведению делимого и числа, обратного 5 3 5 4 20 делителю, т. е. у : ^ = у • ^ I Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю. 2 1 Пример 1. Разделим 2- на 1 2 1 Решение. Представим сначала числа 2^ и 1— в виде неправильных дробей:2| = ^; = Поэтому 2| f ■■ Щ = f 15 16 12 • 15 5 • 16 3 • 3 _ 9 _ 4 4 4‘ ® Пример 2. Разделим J на 6. О Решение. Числом, обратным делителю, является так как 6 • ^ = 1. Ь о Значит, 8 • ® ^ 8 ’ 6 ^ 48’ Сформулируйте правило деления дробей. щ Как выполняется деление смешанных чисел? 97 т 596. Выполните деление: @ ч 3 8 . 5. ■ 7’ е) 1 : 2; л) 3 2 : 3; Р) 4| : 3; . 3. • 4’ ж) 1 : 3; м)4| : l|; с) 1 : А; . 4. ‘ 7’ 3) 5 : 1; ^ г ■ ^10’ т) 0 : 5^; . 5 . ■ 12’ и) 8 : О) loi : 2§; У)3| :1; ^)| . 9 . ‘ 25’ кП • i- 7 . 2’ п = =1 31’ а) -п Г 597. Представьте в виде дроби частное: г) Ь а, Л’ ®> 6 = d’ ч 771 в) — : а; Частное двух дробей можно читать разными способами: 2 . 11 у : ^4 — две седьмых разделить и. п. на одиннадыать четырнадыатых. в. п. — частное чисел две седьмых в. п. и одиннадцать четырнадпатых. в. п. — частное двух седьмых р. п. и одиннадцати четырнадцатых, р. п. 598. Найдите по формуле площади прямоугольника S = аЬ значение: 13 1 , если а = 4- и Ь = ■=; б) а, если S = 15 и Ь = 7^. и I А 599. С какой скоростью должен передвигаться трактор, чтобы пройти 5 5 15 КМ за ^ ч; за — ч? о о т 4 2 600. Масса — дм^ сосны равна ^ кг. Какова масса 1 дм^ сосны? Каков э э объём соснового бруска массой 1 кг? 98 601. Сумма двух чисел равна 12 у. Одно из них в 1 у раза больше другого. Найдите эти числа. 602. Если задуманное число умножить на 2 ^ и к произведению при- 5 5 бавить 1—> то получится 8—* Найдите задуманное число. 1 ^ 603. Плондадь прямоугольника — м^. Найдите периметр прямоуголь- о4 ника, если его ширина — м. о О 604. Длина и ширина прямоугольника соответственно равны 5^ м о 2 и 2§ м. Найдите ширину другого прямоугольника, длина которого 3-м, о О а площадь равна площади первого прямоугольника. 605. Представьте делимое в виде обыкновенной дроби и выполните действие: а) 0,25 : б) 0,6 : 606. Представьте делимое в виде десятичной дроби и выполните дей-4 ^ « ^.3 ствие: а) ^ : 0,2; б) g : 0,375. iie а) I 607. Выполните действия: ж) fel — 4^ 4. 7’ ..11 JL 12 • 24 22’ л 3 3. 16 • 8 ■ 4’ ч 13 JL 13- 14 ‘ 25 • 25’ (4 — л) + 2| “) (4 -1 2|; 4М _ 2- 1; 27 9’’ 99 608. Найдите значение выражения: 7 . ________ „2 8 ‘ ‘ 6 ‘ * ‘ » а) f| + 0,25 + : 1^; в) 6,25 • 8 — з| : 5,5 + 2,4 • 4^; б) 8 ; 0,16 — 3j • 6,4; г) 1±| -1,6 0,12. 609. Решите уравнение: а) = 3 _ п 9 _ 1, 5^ ^10 5’ в) |а + I = 1; Г)3| = :2; =2i • i; е) lx+lx = 2^; ж) т + §m = О 4 ч 2 .2. З)у- gi/ = 4j; и) -Z + -2 — —г = 2

; ■’5 3 15 2’ к) 3^ ^лг + il -р1. 3^^ -2з’ ч 3 . 2 „ 4 М) 52+ з2-3 = д. 610. Коля и Митя нашли 64 гриба. Коля нашёл в 1 у раза больше грибов, чем Митя. Сколько грибов нашёл каждый? 611. Луч ОМ разделил угол СОК, равный 90°, на два угла СОМ и МОК. Угол СОМ больше угла МОК в 2- раза. Чему равны углы СОМ и МОК? О Постройте эти углы с помондью транспортира. 612. Отец старше сына в 3^ раза, а сын моложе отца на 28 лет. Сколь- О ко лет отцу и сколько лет сыну? 613. За два дня турист прошёл 26 км. Путь, пройденный в первый день, составлял у пути, пройденного во второй день. Сколько километров прошёл турист в каждый из этих дней? 614. Белка с бельчонком запасли на зиму 350 грибов. Бельчонок собрал 75% числа грибов, собранных белкой. Сколько грибов собрала белка и сколько бельчонок? 100 615. Первый плотник сделал на 9 оконных рам меньше, чем второй. Сколько рам сделал каждый плотник, если число рам, сделанных первым плотником, составляет § числа рам, сделанных вторым? О 24 616. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 5 км. Скорость первого пешехода составляла § скорости второго. Найдите скорости каждого пешехода, О если они встретились через полчаса. ‘ ■ 617. Мотоциклист стал догонять велосипедиста, когда между ними 3 было 33 км, и догнал его через — ч. Известно, что скорость велосипедиста составляла ^ скорости мотоциклиста. Найдите скорости мотоциклиста и велосипедиста. 3 1 618. Геологи 8- ч ехали на автомашине и 7^ ч двигались пешком. Весь их путь оказался равным 225 км. С какой скоростью геологи шли пешком и с какой — ехали на автомашине, если они проехгши в 14 раз больший путь, чем прошли пешком? 619. В бочонке и бидоне 80 л кваса. В бидоне ^ количества кваса, находяш;егося в бочонке. Квас из бочонка разлили в 20 кувшинов, а из бидона — в 32 банки. Где больше кваса: в одном кувшине или в одной банке? На сколько литров? саб ‘ 620. Турист 3 ч шёл пешком со скоростью 5 км/ч, а далее 4 ч он ехал на поезде, скорость которого в 12 раз больше. Оставшийся путь турист проехал на автобусе за 8 ч. С какой средней скоростью двигался турист за время путешествия, если скорость автобуса составляла ^ скорости поезда? D 621. Вычислите устно: а) 184-112 :8 + 45 :3 б) 700:14 •9 + 90 :18 в) 0,64:0,8 •9 + 2,8 :100 г) 3,6-0,1 :0,б + 3,6 :1,4 Д) 1-0,44 :0,7 •0,5 -0,12 622. Найдите число, обратное дроби: 1^; 0,7. Сравните данное число и ему обратное. 101 623. Существует ли число: а) обратное самому себе; б) не имеющее обратного? 624. Не выполняя умножения, сравните: а) 3 • о и 3; «41^5 5. б) 1 о ■ а ^ R* , 3 7 3. 8 ‘ 5 8’ г) 12 • 1п « 625. Кроме неравенств со знаками > и (больше или равно) и 7з = 5 е) 1,7 • 4,92 • 7,2. з) 2! . li . li 3 7 5 0,15’ 4,8 • 0,82 • 5,1’ 4З к5‘ 696. Выполните действие: а) 0,68 • 1; г) 0,121 : ж) 5,6 : з|; к) 2,3 1,5 6,7. 4,5’ б) 3,212 : д) 43,75 • 3) 10| • 6,3; л) М + 3,2 1,9. 9,6’ в) 1 • 24,6; е) Щ • 8,4; и) 2^ -4,2; м) 7,4 5,7 9,1 11,4 111 697. Выполните действия: I • 1,8 • : 0,07 Ч———^-5-^ I : 0,49.2§ в) 12,75 • ^ • 1.8 l| • 2,04 : 20 ’ б) 0,2 • 6,2 : 0,31 — ^ • 0,3 __________________о______, 2 + 1^ • 0,22 : 0,01 г) 1,75 • I + 1,75 : Ij • If i — 0,325] : i . 0,4 698. Найдите значение выражения ^ ^ ^ ^ ^ + 2 8 + 44’ а) а = 2^ + l|; б) а = 1,8 • (1 — 0,6). 699. Найдите значение выражения ^ если: а) л: = 18,1 — 10,7 и i/ = 35 — 23,8; gr\ t ^ il ii8,/-v2 4 б) * = lOg — 1 2 и у = II5 + 9g — 15- 700. Найти с помощью микрокалькулятора значение выражения 5,4 — 3,275 —’ можно по программе: 5,4 3,275 РГ] 3,4 РГ| 12,5 Р], 3,995 а значение выражения о,675 • 2,4 — 0,022 такой программе: 0,6752,4 0,022 3,995 Выполните вычисления по этим программам. Постройте программу нахождения значения выражения и выполните по ней вычисления: . 3,2 • 1,05. 0,6 • 11,2’ б) 6,076 0,85 : 3,4 + 1,92’ в) г) 2,185 : 43,7 + 1,05. 0,44 • 12,5 (4,2 — 2,7) : 0,003 2,125 : 1,7 112 701. Вычислите устно: а) 270-214 :28 •37 + 26 б) 100:25 •15 :120 •180 в) 6-1,2 :8 •10 : 5 г) 1-0,79 :0,3 + 5,3 : 1,5 Д) 9-4,5 :1,5 •1,7 + 4,9 702. На координатном луче отмечены числа а и Ь (рис. 30). Можно ли указать на луче точку с координатой а о а 2» о . 3» а . д. Рис. 30 703. Вычислите: 11 ^ I || , 12 А . А I 7 12 ■ 14 Сл 2 11 704. Найдите произведение дробей g и и произведение дробей, обратных данным. Каким свойством обладают эти два произведения? Проверьте ваше предположение ещё на одном примере. Докажите это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений). 705. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 1 g 1 1. оЗ. 8 если X = 1; gl 2^; g. 706. Составьте задачу по уравнению: а) X • 3 = б) 11 + у = 2’ B)2jg а = 10* X, 707. Ваня и Таня должны были встретиться на станции, чтобы вместе поехать на поезде, который отправляется в 8 ч утра. Ваня думает, что его часы спешат на 35 мин, хотя в действительности они отстают на 15 мин. А Таня думает, что её часы отстают на 15 мин, хотя они на самом деле спешат на 10 мин. Что произойдёт, если каждый из них, полагаясь на свои часы, будет стремиться прийти за 5 мин до отхода поезда? 2 708. Возраст Серёжи составляет у возраста отца. Серёже 12 лет. Сколько лет отцу? 113 709. Комбайнер за 1 ч скосил пшеницу с площади 3 га, что составляет 15% того, что он скосил за день. Какую площадь скосил комбайнер за день? 710. Груши составляют 25% всех деревьев сада, остальные 150 деревьев — яблони. Сколько грушевых деревьев в саду? 711. Площадь 60 га составляет 0,75 площади поля. Чему равна площадь поля? 712. Найдите число, если: а) 0,9 его равны 1^; б) ^ его равны 3,5; о в) 35% его равны 49. 713. Участок земли, площадь которого 6 а, составляет „ сада, а пло- 3 ^ щадь сада составляет у всего приусадебного участка. Чему равна площадь всего приусадебного участка? 714. По плану бригада должна отремонтировать за месяц 25% дороги между двумя посёлками. За первую неделю отремонтировали 2 км 100 м дороги, что составило 30% месячного плана. Какова длина всей дороги между посёлками? ‘ ‘ 715. Решите задачу: 1) В книге 240 страниц. В субботу мальчик прочитал 7,5% всей книги, а в воскресенье — на 12 страниц больше. Сколько страниц ему осталось прочитать? 2) Для птицефермы заготовили 2600 т корма. В первый месяц было израсходовано 8,5% корма, а во второй месяц — на 30 т больше. Сколько тонн корма осталось? 716. Найдите значение выражения: а) 2,56 • 0,44 • 2,25. 3,2 • 0,12 • 0,6 ’ Д) 11,7 : 1^; б) 5,72 • YY’ в) 8,4 г) 6,3 2-’ ^3’ 1^- S’ е) ж) з) 1^-2^ ^7 5 _2 ,6 1 ’ 12— • 3— — 4 — 5 4 11 8. ц2 3 18 28,8 : 13у + 6,6 iji : 2,26 114 717. Нападающие Коля и Никита во время баскетбольного матча принесли своей команде у и ^ всех очков. Сколько очков набрала за матч эта команда, если Коля набрал на 7 очков больше, чем Никита? 718. Поезд, идущий со скоростью 68 км/ч, проходит расстояние между городами за 6 ч. Какое время потребуется велосипедисту, чтобы проехать 4 этого расстояния со скоростью 17 км/ч? 0 719. Получили сплав из куска меди объёмом 15 см^ и куска цинка объёмом 10 см^. Какова масса Д см^ сплава, если масса 1 см^ меди 8,9 г, а масса 1 см^ цинка 7,1 г? Полученный результат округлите до десятых долей грамма. 720. Кухня в 10 м^ составляет 0,4 всех нежилых помещений квартиры. 5 Площадь нежилых помещений составляет — площади всей квартиры. 1о Найдите площадь всей квартиры. 721. Вырежьте из плотной бумаги фигуры, изображённые на рисунке 31, и склейте фигуры, изображённые на рисунке 32. Эти фигуры называют призмами. У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, а верхнее и нижнее основания — равные многоугольники. На рисунке 32, а изображена треугольная призма, а на рисунке 32,6 — четырёхугольная. Каждый прямоугольный параллелепипед — это четырёхугольная призма. Рис. 31 б) а) б) Рис. 32 115 л в самых древных дошедших до нас письменных источниках — вавилонских глиняных табпттх и египетских ттрусах — встречаются не только натуральные числа, но U дроби. Дроби были нужны, чтобы выразить результат измерения длины, массы, плои<ади в случаях, когда единица измерения не укладывалась в измеряемой величине целое число раз. Тогда вводили новую, меньшую единицу измерения. Названия этих новых единиц измерения и стали первыми названиями дробей. Например, дробь ^ до сих пор называют «половина»: у римлян слово «унция» сначала было названием двенадцатой доли единицы массы, но потом унция стала обозначать одну двенадцатую долю любой величины (говорили: «Семь унций пути», т. е. семь двенадцатых пути). В Древнем Вавилоне, как вы знаете, дроби были шестидесятеричными. Используя современные обозначения, число можно было бы записать, например, гу 3 в виде 4; 52; 03. Это означало: ^ ^ и сейчас, когда мы пишем 3 ч 21 мин 47 с, то, по сути дела, записываем доли часа в шестидесятеричной системе счисления: 21 мин = ^ ч, 47 с = ^ ч = ^ 60 60^ 3600 ч. у египтян были особые знаки для дробей ^ | обш,ий способ записи для долей (т. е. дробей с числителем 1). Все остальные дроби они записывали в виде суммы долей. 7_1 1 5_1 1 7_14_1 1 ^ ^'12 3 4' 24 8 12' 13 26 2 26' (Подумайте, как можно быстро находить такую сумму.) Запись дробей с помощью числителя и знаменателя появилась в Древней Греции, только греки знаменатель записывали сверху, а числитель — снизу, дроби в привычном для нас виде впервые стали записывать индусы около 1500 лет назад, но они не использовали черту между числителем и знаменателем. Черта дроби стала общеупотребительной лишь с XVI в. в старину применяли в основном обыкновенные дроби. Это объяснялось различными соотношениями между единицами измерения: они делились и на 12, и на 16, и на 40 частей. Но потом было замечено, что самыми удобными для вычислений являются десятичные дроби. С XVII—XVIII вв. они получили всеобщее распространение, особенно после создания и введения в большинстве стран метрической системы мер. 116 §4. Отношения и пропорции 20. Отношения Задача 1. От куска материи длиной 5 м отрезали 2 м. Какую часть куска материи отрезали? Решение. Сначала узнаем, какую часть всего куска материи составляет 1 м. Так как в куске 5 м, то 1 м составляет ^ куска. Значит, 2 м составляют 2 ■р всего куска материи. Тот же ответ можно получить, разделив 2 на 5. Дей- Э 2 ствительно, 2:5= Ответ можно также записать в виде десятичной дроби ь 2 ИЛИ в процентах: - = 0,4 = 40%. Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго. Если значения двух величин выражены одной и той же единицей измерения, то их отношение называют также отношением этих величин (отношением длин, отношением масс, отношением площадей и т. д.). Задача 2. Длина железной дороги 360 км. Электрифицировано 240 км этой дороги. Какая часть дороги электрифицирована? Во сколько раз вся дорога длиннее её электрифицированной части? Решение. Чтобы найти, какая часть дороги электрифицирована, берём отношение 240 : 360. Записываем это отношение в виде дроби и сокращаем 240 2 2 её на 120. Получим 240 : 360 = Значит, электрифицировано всей оЬи о о дороги. Чтобы узнать, во сколько раз вся дорога длиннее своей электрифицированной части, берём отношение 360 : 240. Записываем его в виде дроби и со- кращаем эту дробь на 120. Получим 360 : 240 = 360 240 = I = 1 ^ = 1,5. Значит, вся дорога в 1,5 раза длиннее её электрифицированной части. 2 3 Числа 3^2 взаимно обратны, поэтому и отношения 2 к 3 и 3 к 2 также называют взаимно обратными. Если значения двух величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения. 117 Задача 3. Масса станка 9,6 ц, а масса электромотора 36 кг. Найдите отношение массы электромотора к массе станка. Решение. Выразим массу станка в килограммах^ Получим 9,6 ц = 960 кг. Значит, отношение массы электромотора к массе станка равно ^ ^ = 0,0375. Итак, масса электромотора составляет 0,0375 массы станка. Этот ответ можно выразить в процентах: 0,0375 = 3,75 %. Значит, масса электромотора составляет 3,75% массы станка. 9 Что называют отношением двух чисел? ^ Что показывает отношение двух чисел? Как узнать, какую часть число а составляет от числа Ь? [(^] Как узнать, сколько процентов одно число составляет от другого? 722. Найдите отношение: а) 124 к 3; б) 6 к 20; в) 12,3 к 3; г) 9,1 к 0,07; д) 0,25 к 0,55; ж) 6g к 8,2; ^ qA 15. ej о 13 к 13’ з) 1,35 к 5| Возможны разные способы использования термина отношение в речи. Выражение 35 : 27 можно читать: — отношение числа тпидпать пять к числу двадпать семь. р. п. в. п. д. п. в. п. — отношение чисел тпидпать пять и двадпать семь. р. п. в. п. в. п. — отношение тридпати пяти к явяяттяти семи. р. п. д. п. Мх QJ 723. Проволока разрезана на два куска. Первый кусок имеет длину 9 м, а второй — 14,4 м. Найдите, какую часть всей проволоки составляет первый кусок; второй кусок. Какую часть длина первого куска составляет от длины второго куска? 724. Внутри угла АОС проведён луч ОВ так, что ZAOB = 56° и ZBOC = = 40°. Какую часть угла АОС составляет угол АОВ; угол ВОС? Выполните построение этих углов с помощью транспортира. qJ 725. Площадь прямоугольника 22,05 дм^. Длина этого прямоугольника 10,5 дм. Найдите отношение длины прямоугольника к его ширине. Что показывает это отношение? Запишите отношение, обратное полученному отношению. Что будет показывать это отношение? 118 726. Отношение а к b равно Найдите обратное отношение. Чему будет равно отношение т к п, если отношение п к т равно 1,25? 727. Сплав из свинца и олова содержит 1,52 кг свинца и 0,76 кг олова. В каком отношении взяты свинец и олово? Какую часть сплава (по массе) составляет олово и какую часть — свинец? 728. Какую часть урока заняла самостоятельная работа, которая длилась 20 мин, если продолжительность урока 45 мин? qJ 729. В классе 36 учащихся. Из них 15 мальчиков, а остальные — девочки. Какую часть учащихся составляют мальчики, а какую — девочки? Чему равно отношение числа девочек к числу мальчиков и что оно показывает? 730. Между двумя городами построили дорогу. Первый город постро-ил - дороги, второй — остальную часть. Во сколько раз часть дороги, построенная первым городом, больше, чем часть дороги, построенная вторым? 731. Расстояние от села до города автомашина прошла за 3 ч. В первый час она прошла четверть всего расстояния, во второй час — треть всего расстояния. Во сколько раз расстояние, пройденное в третий час, больше расстояния, пройденного во второй час? Какую часть расстояние, пройденное в первый час, составляет от расстояния, пройденного в третий час? 732. Молоко разлили в три бидона. В первый налили 0,1 всего молока, во второй — 0,3 всего молока, а в третий — 0,6 всего молока. Что показывает отношение: а) 0,1 к 0,3; б) 0,1 к 0,6; в) 0,3 к 0,6; г) (0,3 + 0,1) к 0,6? 733. В классе 40 учащихся, из них 8 учащихся учатся на «5». Сколько процентов учащихся класса составляют отличники? 734. Из 250 семян погибли 10. Найдите, сколько процентов семян взошло (процент всхожести). Р.х 735. После установки нового оборудования завод за смену вместо 240 холодильников стал выпускать 300 холодильников. На сколько процентов увеличилось производство холодильников за смену? 736. По коэффициенту трудового участия (КТУ) заработок между тремя рабочими распределили следующим образом: первому — 40% всех 119 денег, второму — 35 % всех денег, а третьему — остальные 25 %. Определите, округлив результаты до десятых, сколько процентов составляли деньги, полученные: а) первым рабочим, от денег, полученных двумя другими; б) вторым рабочим, от денег, полученных двумя другими; в) первым рабочим, от денег, полученных вторым; г) вторым рабочим, от денег, полученных первым; д) третьим рабочим, от денег, полученных первым. 737. Имеющиеся деньги брат и сестра распределили так, что сестра получила в 3 раза больше, чем брат. Определите: а) какую часть денег получила сестра и какую — брат; б) сколько процентов всех денег получила сестра и сколько — брат; в) какую часть деньги брата составляют от денег сестры. 738. Известно, что сумма углов любого треугольника равна 180°. В треугольнике АВС найдите ZA, если: а) ZB = 75°, ZC = 80°; б) ZA больше ZB на 20° и меньше ZC на 40°; 2 1 в) ZB составляет а ZC составляет ^ суммы всех углов треугольника; г) ZA составляет f ZB и ZC = 70°. о 739. Что показывает отношение: а) пути, пройденного автомашиной, ко времени её движения; б) числа деталей, изготовленных станком-автоматом, ко времени его работы; в) стоимости купленных яблок к их массе; г) объёма прямоугольного параллелепипеда к площади его основания? 740. Найдите, сколько процентов число 9,729 составляет от числа 84,6. С помощью микрокалькулятора для этого можно выполнить вычисление по программе 9,729 | -ь | 84,6 | % [ [ = [. С помощью микрокалькулятора: а) найдите, сколько процентов составляет 0,0912 от 36,48 и 13,524 от 16,8; б) решите задачу: «Из 327 га вспахано 225 га. Сколько процентов земли вспгихано? Сколько процентов земли осталось вспахать?» Ответ округлите до десятых долей процента. 741. Вычислите устно: а) 16*10 б) 800:25 в) 7:5 г) 0,5 • 20 д) 4-2,8 -Ы90 •30 -0,2 + 1,8 •7 -0,2 -510 •6 :4,1 :0,4 :5 :10 + 3,8 + 5,2 •0,01 •7 •2 :5 :1,2 + 3,3 ? ? ? ? ? 120 742. Найдите пропущенные числа: а) 1 ■ 3 6 5 7 8 2 743. На сколько надо увеличить знаменатель дроби —» ^7’ з» чтобы получить дробь i? 744. Выразите в процентах числа: 0,2;0,15;i; |; 1; 3. 745. Половина от половины числа равна половине. Найдите это число. 746. Кто быстрее? Найдите в таблице последовательно все числа от 26 до 50: 42 47 34 29 43 50 28 39 48 35 40 33 36 26 30 49 44 31 38 46 32 37 45 41 27 37 30 47 46 44 42 33 27 36 39 34 48 50 31 43 28 41 38 49 26 45 32 29 40 35 ал. 747. Найдите значение выражения: а) ^ • 0,4; б) f : 0,7; в) г) 4" 4. д) 1,2 • 5,6 2,5 ’ 0,7 • 0,3 7.5 . е) 1,8 2 4 0,06* 748. На подкормку овощей и фруктовых деревьев израсходовано j из 3 имевшихся 18 ц удобрений. На подкормку овощей пошло - израсходо- 121 ванных удобрений. Сколько центнеров удобрений израсходовано на подкормку овощей? 749. На окраску окон и дверей было истрачено 3,2 кг белил, что составляет ^ всех белил, истраченных на ремонт. А на ремонт было истра- 4 чено g всех купленных белил. Сколько килограммов белил было куплено? ■ 750. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если: 5 1) его ширина 2,5 см и составляет g высоты, а длина в 3,4 раза больше высоты; 2) его высота 3,5 см и состгшляет 0,7 ширины, а длина в 2,4 раза больше ширины. Ж] -iiJ 751. Двое мальчиков бросали баскетбольный мяч в корзину. Один мальчик сделал 20 бросков и попал в корзину 13 раз, а другой сделал 26 бросков и попал в корзину 15 раз. Найдите для каждого мальчика, какую часть составляли попадания от числа бросков. Чей результат лучше? 752. Крутизной лестницы называют отношение высоты ступеньки к её глубине. Чему равна крутизна лестницы, если высота ступеньки 18 см, а глубина 30 см? 753. Автобус в первый час прошёл 30 км, во второй — 24 км, а в третий — 42 км. Какую часть всего пути прошёл автобус в каждый час? Какую часть пути, оставшуюся после первого часа движения, прошёл автобус во второй час и какую — в третий час? 754. Для варенья на 3,5 кг ягод было взято 4,2 кг сахарного песка. В каком отношении по массе были взяты ягоды и сахарный песок? 755. В сосуд налили 240 г воды и положили 10 г соли. Найдите процентное содержание соли в растворе. Через некоторое время 50 г воды испарилось. Каким стало процентное содержание соли в растворе? 756. Комбайнер намолотил 76 т зерна, превысив задание на 12 т. На сколько процентов комбайнер перевыполнил задание? 757. На складе были пшеница, овёс и кукуруза, причём пшеница составляла 64%, овёс — 16% всего количества зерна. В товарный состав загрузили всю пшеницу и всю кукурузу. Какой процент погруженного зерна составляла пшеница? Какой процент погруженного зерна составляла бы пшеница, если бы вместо кукурузы погрузили овёс? 122 758. Длина прямоугольника а см, а ширина Ь см. Длина другого прямоугольника т см, а ширина п см. Найдите отношение площади первого прямоугольника к площади второго. Найдите значение получившегося выражения, если: а) а = 9, Ь = 2, m = 8, тг = 3; б) а = 6,4, Ь = 0,2, т = 3,2, п = 0,5. 759. Найдите значение выражения: а) (2,3 + 5,8) • 3^ 7. (4.9 - 2,3) : I ’ . 0,21 • 1,25 . 13,6 - 11,1’ б) 8 • 16 + 2,25 • 0,8 oJ- - iM] . 3 1- ^48 ^72 J ■ ^12 -ЬЗ^* -h d5» г) ^>‘^81 ^ 7,825 2,06 3,13 ‘ 21. Пропорции Отношения 3,6 : 1,2 и 6,3 : 2,1 равны, так как значения частных равны 3. ос СО Поэтому можно записать равенство 3,6 : 1,2 = 6,3 : 2,1, или I Равенство двух отношений называют пропорцией. С помощью букв пропорцию записывают так: а \ Ь = с : d или Эти записи читают так: «Отношение а кЪ равно отношению с к d» или «а так относится к Ъ, как с относится к d». В пропорции f = или а : Ъ = с \ d, числа а \л d называют крайними членами, а числа Ь и с — средними членами пропорции. В дальнейшем будем считать, что все члены пропорции отличны от нуля: а ^ 0, Ь ф 0, с ф 0, d^O. 3 6 0 3 Средние в пропорции Y2 ^ найдём произведение её крайних j————j и произведение её средних членов. Получим 3,6 • 2,1 = 7,56; а:Ь = с : d 1,2 • 6,3 = 7,56. Значит, 3,6 • 2,1 = 1,2 • 6,3. Крайние В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. 123 Верно и обратное утверждение: если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна. Это свойство называют основным свойством пропорции. Пропорция 20 : 16 = 5:4 верна, так как 20 • 4 = 16 • 5 = 80. Поменяем местами в этой пропорции средние члены. Получим новую пропорцию: 20 : 5 = 16 : 4. Она тоже верна, так как при такой перестановке произведение крайних и произведение средних членов не изменилось. Эти произведения не изменятся, если в пропорции 20 : 5 = 16 : 4 поменять местами крайние члены. Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны. Используя основное свойство пропорции, можно найти её неизвестный член, если все остальные члены известны. Пример 1. Найдём в пропорции 0,5 : а = 2 : 13 неизвестный средний член а. Решение. Используя основное свойство пропорции, получим а • 2 = = 0,5 • 13. Отсюда а = а = 3,25. Пример 2. Решим уравнение 8,75 _ “ 0,75 Решение. Используя основное свойство пропорции, получим 8,75 • 0,75 = 3 8 75 О 75 Я = З4 • JC. Отсюда X = ———. Представим 3^ в виде десятичной дроби 3,75 8 75 и сократим выражение на 0,75, имеем х = х = 1,75. Что такое пропорция? g Как называются числа х и\ у в пропорции х : а = Ь : у? ШКак называются числа m и п. в пропорции а : т = п : Ь? Сформулируйте основное свойство пропорции. Какие перестановки членов пропорции снова приводят к верным пропорциям? Останется ли пропорция верной, если поменять местами какой-нибудь средний её член с одним из крайних? Приведите пример. Останется ли пропорция верной, если оба средних члена поменять местами с крайними членами? Проверьте ваш ответ на пропорции 3:4 = 9: 12. 124 а 760. Запишите пропорцию: а) 5 так относится к 3, как 2 относится к 1,2; 1 2 б) 0,9 так относится к д, как 45 относится к 16 2 в) отношение у к 0,1 равно отношению 14 к 4,9. Проверьте полученные пропорции, определяя отношения чисел. ^ а * 761. Из каких отношений 0,6 : 5; 4,2 : 7; ^ : 6,25 можно составить верную пропорцию? 762. Прочитайте пропорции и проверьте, верные ли они, используя основное свойство пропорции: 7 = 36 4 : 26; в) 2— • 9 = 1 : 39; д) 18 3 ^ 1 ^ 1 г) 0,35 0,106. 15 = 4 : бр 0,6 = 0,18 ’ е) 1,8 5 ’ 2,7 Йб ‘ 763. Решите уравнение: а) у : 51,6 = 11,2 : 34,4; _ 67,8 _ L62. б) — 6,35’ в; о . 6 7 • 21’ 3 1 1 г)5| :3| =5- :;с; 12,3 “6“ 7х . 4,2’ е) y.sl :2\; ж) : 5 = 16 : 0,8; 3)0,2 :(х-2)= I : 2^; и) 2| : 0,24 = 1^ :(х + 0,06). 764. Переставив средние или крайние члены пропорции, составьте три новые верные пропорции из пропорции: а) 5 : 15 = 4 : 12; 12 30, б) 0,2 — 0,5’ ч т I Т = ft- 765. Используя верное равенство 4 • 9 = 0,2 • 180, составьте четыре верные пропорции. 125 !1 766. Вычислите устно: а) 15-10 б) 900:15 в) 1-4 г) 1,4 + 3,6 д) 3-1,6 + 350 •9 -0,1 :0,25 -1,2 :25 + 260 •6 •0,14 :1,8 •20 :16 :4,5 -2,7 -0,2 -150 •20 + 0,38 •7,3 •0,4 ? ? ? ? ? 767. Какой знак действия надо подставить вместо *, чтобы получилось верное равенство: =1; б) 2 * = |; в) ^ ^ 7 7 4» 3 3 768. Найдите отношение величин: а) 1,5 м и 30 см; в) 1 ч и 15 мин; б) 1 кг и 250 г; г) 50 см^ и 1 дм^. 5 3 769. — числа равны этого числа. Какое это число? г) 0,3 * I = 770. Какое число надо прибавить к числителю и знаменателю дроби 7 3 —, чтобы получить дробь р? ® 771. Какие из фигур (рис. 33) являются развёртками: а) четырёхугольной призмы; б) треугольной призмы; в) треугольной пирамиды? Рис. 33 126 ‘ ‘ 772. Из ружья сделано 50 выстрелов, при этом 5 пуль пролетели мимо цели. Определите процент попаданий. 773. Угол А равен 30°, а угол В равен 50°. Какую часть от угла В составляет угол А? Во сколько раз угол В больше угла А? 774. Бригаде было дано задание собрать 280 ц винограда. Она собрала 350 ц. На сколько процентов бригада перевыполнила задание? На сколько процентов бригада выполнила задание? % 775. В парке посадили клёны и дубы, причём на каждые 4 клёна приходится один дуб. Сколько процентов от всех посаженных деревьев составляют клёны? Сколько всего посадили деревьев в парке, если клёнов посадили 480? 776. Верна ли пропорция: а) 2,04 : 0,6 = 2,72 : 0,8; б) 0,0112 : 0,28 = 0,204 : 0,51? 777. Решите уравнение: а) 2, * = i\ в) у : i = з1 • 1^- 5 ^8*^4’ г) Z : 3 о1 . 4 14 9 ‘ 9‘ 778. Из 225 кг руды получили 34,2 кг меди. Каково процентное содержание меди в руде? 779. Через 2 ч после выхода со станции А тепловоз увеличил скорость на 12 км/ч и через 5 ч после начала движения прибыл в пункт назначения В. Какова была скорость тепловоза в начале пути, если расстояние от А до В равно 261 км? О 780. Если к у неизвестного числа прибавить 0,8, то получится 1,2. Найдите неизвестное число. 781. Выполните действия: а) (3,2 : 4 -h 4| : 3,2) • 4,8; б) (385,7 : 0,19 — 30) • 0,2 — (35,7 • 3,29 -Ь 2,547). 127 22. Прямая и обратная пропорциональные зависимости Если станок с числовым программным управлением за 2 ч изготовляет 28 деталей, то за вдвое большее время, т. е. за 4 ч, он изготовит вдвое больше таких деталей, т. е. 28 • 2 = 56 деталей. Во сколько раз больше времени будет работать станок, во столько раз больше деталей он изготовит. Значит, равны отношения 4 : 2 и 56 : 28. Следовательно, верна пропорция 4 : 2 = 56 : 28. Такие величины, как время работы станка и число изготовленных деталей, называют прямо пропорциональными величинами. Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны. Пусть путь из города А в город В поезд со скоростью 40 км/ч проходит за 12 ч. Если скорость движения увеличить вдвое, т. е. сделать её равной 80 км/ч, то на этот же путь поезд затратит вдвое меньше времени, т. е. 6 ч. Во сколько раз увеличится скорость движения, во столько же раз уменьшится время движения. В этом случае отношение 80 : 40 будет равно не отношению 6:12, а обратному отношению 12:6. Следовательно, верна пропорция 80 : 40 = 12 : 6. Такие величины, как скорость и время, называют обратно пропорциональными величинами. Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины. Не всякие две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, рост ребёнка увеличивается при увеличении его возраста, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста рост ребёнка не удваивается. Задачи на пропорциональные величины можно решить с помощью пропорции. Задача 1. За 3,2 кг товара заплатили 115,2 р. Сколько следует заплатить за 1,5 кг этого товара? Решение. Запишем кратко условие задачи в виде таблицы, обозначив буквой X стоимость (в рублях) 1,5 кг этого товара. 128 Запись будет иметь следующий вид; I покупка II покупка Количество товара ,2 кг ,5 кг I 3,: Т 1,1 Стоимость товара 115,2 р. X р. Зависимость между количеством товара и стоимостью покупки прямо пропорциональна, так как если купить товара в несколько раз больше, то и стоимость покупки увеличится во столько же раз. Условно обозначим такую зависимость одинаково направленными стрелками. Запишем пропорцию . М = 115,2 ■1,5 X ■ Теперь найдём неизвестный член пропорции: = 54. 3,2 Ответ: 54 р. Задача 2. Два прямоугольника имеют одинаковую площадь. Длина первого прямоугольника 3,6 м, а ширина 2,4 м. Длина второго прямоугольника 4,8 м. Найдите ширину второго прямоугольника. Решение. Обозначив буквой х ширину (в метрах) второго прямоугольника, запишем кратко условие задачи: I прямоугольник II прямоугольник Длина 3,6 м 4,8 м Ширина 2,4 м X м Зависимость между шириной и длиной при одном и том же значении площади прямоугольника обратно пропорциональная, так как если увеличить длину прямоугольника в несколько раз, то надо ширину во столько же раз уменьшить. Условно обозначим такую зависимость противоположно направленными стрелками. Запишем пропорцию: М. ^ JL. 4,8 2,4- Теперь найдём неизвестный член пропорции: 3,6 • 2,4 ^ X 1,8. Ответ: 1,8 м. 129 0 Какие величины называют прямо пропорциональными? Что можно сказать об отношениях соответствующих значений таких величин? Приведите примеры прямо пропорциональных величин. Какие величины называют обратно пропорциональными? Что можно сказать об отношениях соответствующих значений таких величин? Приведите примеры обратно пропорциональных величин. Приведите примеры величин, у которых зависимость не является ни прямо, ни обратно пропорциональной. 782. Определите, является ли прямо пропорциональной, обратно пропорциональной или не является пропорциональной зависимость между величинами: а) путём, пройденным автомашиной с постоянной скоростью, и временем её движения; б) стоимостью товара, купленного по одной цене, и его количеством; в) площадью квадрата и длиной его стороны; г) массой стального бруска и его объёмом; д) числом рабочих, выполняющих с одинаковой производительностью труда некоторую работу, и временем выполнения этой работы; е) стоимостью товара и его количеством, купленным на определённую сумму денег; ж) возрастом человека и размером его обуви; з) объёмом куба и длиной его ребра; и) периметром квадрата и длиной его стороны; к) дробью и её знаменателем, если числитель не изменяется; л) дробью и её числителем, если знаменатель не изменяется. Задачи 783—794 решите, составив пропорцию. 783. Стальной шарик объёмом б см^ имеет массу 46,8 г. Какова масса шарика из той же стали, если его объём 2,5 см^? 784. Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени? 785. Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 210 мин. За какое время 7 бульдозеров расчистили бы эту площадку? 786. Для перевозки груза потребовалось 24 машины грузоподъёмностью 7,5 т. Сколько нужно машин грузоподъёмностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз? 787. Для определения всхожести семян посеяли горох. Из 200 посеянных горошин взошло 170. Какой процент горошин дал всходы (процент всхожести)? 788. Весной при проведении работ по озеленению города на улице посадили липы. Принялось 95% всех посаженных лип. Сколько посадили лип, если принялось 57 лип? 130 789. В лыжной секции занимаются 80 учащихся. Среди них 32 девочки. Какой процент участников секции составляют девочки и какой — мальчики? ‘ ‘ 790. Завод должен был за месяц по плану выплавить 980 т стали. Но план выполнили на 115%. Сколько тонн стали выплавил завод? 791. За 8 месяцев рабочий выполнил 96% годового плана. Сколько процентов годового плана выполнит рабочий за 12 месяцев, если будет работать с той же производительностью? 792. За три дня было убрано 16,5% всей свёклы. Сколько потребуется дней, чтобы убрать 60,5% всей свёклы, если работать с той же производительностью? 793. В железной руде на 7 частей железа приходится 3 части примесей. Сколько тонн примесей в руде, которая содержит 73,5 т железа? 794. Для приготовления борща на каждые 100 г мяса надо взять 60 г свёклы. Сколько свёклы надо взять на 650 г мяса? 795. Вычислите устно: а) 800:16 •7 -80 :30 •15 б) 309 + 541 -306 :70 •30 :21 в) 5-3,4 •4 + 2,7 :13 •0,03 г) 2,4 + 3,5 :1,5 •0,125 + 4 :0,03 Д) 7,5:25 •1.6 + 0,2 :0,15 -0,1 У 796. Представьте в виде суммы двух дробей с числителем 1 каждую из ^ V 5 8 9 4 13 следующих дробей: . g. 797. Из чисел 3, 7, 9 и 21 составьте две верные пропорции. 798. Средние члены пропорции 6 и 10. Какими могут быть крайние члены? Приведите примеры. т 799. При каком значении х верна пропорция: а! — = -• 4 х’ Х\ X _ X, 4 — 9! \ X _ Зх, 6 18’ 800. Найдите отношение: а) 2 мин к 10 с; в) 0,1 кг к 0,1 г; б) 0,3 м^ к 0,1 дм^; г) 4 ч к 1 сут; ч л: 3. •’>1 = 5’ Д) — = -? X X д) 3 дм^ к 0,6 м^. 131 и 801. Где на координатном луче должно быть расположено число с, что- бы была верна пропорция ^

^ (рис. 34)? Рис. 34 802. Развивайте свою память! Закройте таблицу листом бумаги. На несколько секунд откройте первую строку и затем, вновь закрыв её, постарайтесь повторить или записать три числа этой строки. Если вы верно воспроизвели все числа, переходите ко второй строке таблицы. Если в какой-либо строке допущена ошибка, сами напишите несколько наборов из такого же, как в строке, количества двузначных чисел и тренируйтесь в их запоминании. Если вы можете без ошибок воспроизвести не менее пяти двузначных чисел, у вас хорошая память. 35 71 26 42 17 69 38 53 20 74 16 41 19 46 81 23 52 37 23 30 77 14 91 28 65 64 33 59 25 71 46 84 12 803. Решите уравнение: а) 4,5 : (Зд:) = 4 : 28; в) 1,25 : 0,4 = 1,35 : (0,3л:); б) (2х) : 9 = : 5^; г)1| :1 (2л:) : 3. 804. Можно ли составить верную пропорцию из следующих чисел: а) 15; 14; 8 и 75; б) |; |; if; 1^? 805. Из равенства произведений 3 • 24 = 8 • 9 составьте три верные пропорции. 806. Длина отрезка АВ равна 8 дм, а длина отрезка CD равна 2 см. Найдите отношение длин отрезков АВ и CD. Какую часть длины отрезка АВ составляет длина отрезка CD? 807. В санатории 460 отдыхающих, из которых 70% взрослые, а остальные — дети. Сколько детей отдыхало в санатории? 2а а) 808. Найдите значение выражения: 12 • 0,8 — 1,8 3^ + 2^-^ ^8^12 3. 7,3 — 0,4 • 8,5’ б) 2— + 2 — ^12 ^15 1 ‘ 4 132 809. Решите задачу: 1) При обработке детали из отливки массой 40 кг в отходы ушло 3,2 кг. Какой процент составляет масса детали от массы отливки? 2) При сортировке зерна из 1750 кг в отходы ушло 105 кг. Какой процент зерна остался? ■ 810. Найдите значение выражения: 1) 6,0008 : 2,6 + 4,23 • 0,4; 2) 2,91 • 1,2 + 12,6288 : 3,6. 811. Из 20 кг яблок получается 16 кг яблочного пюре. Сколько яблочного пюре получится из 45 кг яблок? 812. Трое маляров могут закончить работу за 5 дней. Для ускорения работы добавили еш;ё двух маляров. За какое время они закончат работу, если все маляры работают с одинаковой производительностью? 813. Бетонная плита объёмом 2,5 м^ имеет массу 4,75 т. Каков объём плиты из такого же бетона, если её масса 6,65 т? 814. В сахарной свёкле содержится 18,5% сахара. Сколько сахара содержится в 38,5 т сахарной свёклы? Ответ округлите до десятых долей тонны. 815. В семенах подсолнечника нового сорта содержится 49,5% масла. Сколько килограммов таких семян надо взять, чтобы в них содержалось 29,7 кг масла? 816. В 80 кг картофеля содержится 14 кг крахмала. Найдите процентное содержание крахмала в таком картофеле. 817. В семенах льна содержится 47% масла. Сколько масла содержится в 80 кг семян льна? 818. Рис содержит 75% крахмала, а ячмень — 60%. Сколько надо взять ячменя, чтобы в нём содержалось столько же крахмала, сколько его содержится в 5 кг риса? 819. Найдите значение выражения: а) 203,81 : (141 — 136,42) + 38,4 : 0,75; б) 96 : 7,5 + 288,51 : (80 — 76,74). 133 23. Масштаб М: 1 : 100 000 Рис. 35 Участки земной поверхности изображают на бумаге в уменьшенном виде. Например, отрезок 1000 м изображают на карте (рис. 35) отрезком в 1 см. Так как 1000 м = 100000 см, то каждый отрезок на карте в 100000 раз меньше соответствующего отрезка на местности. I Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты. В рассмотренном нами примере масштаб карты равен 1:100000 = -| qq oqq • Говорят, что карта сделана в масштабе одна стотысячная. Задача 1. Длина отрезка на карте 3 см. Найдём длину соответствующего отрезка на местности, если масштаб карты 1 : 1 000000. Решение. Обозначим длину отрезка на местности (в сантиметрах) буквой X и найдём отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности; 3:х, которое и будет равно масштабу карты. Значит, 3 : X = 1 ; 1 000000. Решив уравнение, получим х = 3 • 1 000000 = 3000000. Но 3000000 см = = 30000 м = 30 км. Ответ: длина отрезка на местности 30 км. Задача 2. Длина отрезка на местности 4,5 км. Чему равна длина этого отрезка на карте, сделанной в масштабе 1 : 100000? Решение. Обозначим длину (в километрах) отрезка на карте буквой х и составим пропорцию: х : 4,5 = 1 : 100000. Решив уравнение, получим х = 4,5 : 100000 = 0,000045. Но 0,000045 км = 0,045 м = 4,5 см. Ответ: длина отрезка на карте 4,5 см. Л Что называют масштабом карты? J Чему равен масштаб чертежа, если на нём детали увеличены в 5 раз? уменьшены в 50 раз? а 820. Определите по карте (рис. 36) расстояние от опушки леса (точка А) до точки пересечения дороги с рекой. Масштаб карты 1 : 100 000. 821. Расстояние между городами А и В на карте равно 8,5 см. 1 расстояние между городами на местности, если масштаб карты 1 000 000* 134 822. Длина железной дороги Москва — Санкт-Петербург приближённо равна 650 км. Изобразите отрезком эту дорогу, применив масштаб 1 : 10 000 000. ■ 823. Расстояние от Бреста до Владивостока более 10 000 км. Уместится ли на одной странице тетради это расстояние в масштабе одна десятимиллионная? 824. На рисунке 37 дан план квартиры в масштабе 1 : 100. Определите по плану, какие размеры имеют кухня, ванная и комнаты и какова их плош;адь в действительности. ‘ 825. Отрезку на карте, длина которого 3,6 см, соответствует расстояние на местности в 72 км. Каково расстояние между городами, если на этой карте расстояние между ними 12,6 см? 826. Длина железнодорожной магистрали 3140 км. Какой длины получится линия, изоб-ражаюпдая эту магистраль на карте, сделанной в масштабе: а) 1 : 10 000 000; б) 1 : 2 000 000? 827. Отрезок на местности длиной 3 км изображён на карте отрезком 6 см. Какова на карте длина отрезка, изображаюш;его отрезок 10 км? Какой отрезок на местности изображает отрезок на карте длиной 1,8 см? Рис. 36 I Кухня Ванная I Комната I- I. Комната М: 1:100 Рис. 37 Мд ‘ 828. Длина детали на чертеже, сделанном в масштабе 1:5, равна 7,2 см. Чему будет равна длина этой детали на другом чертеже, сделанном в масштабе 1 : 3? в масштабе 2:1? 829. Вычислите устно а) 370 + 230 :50 •30 + 340 + 14 б) 720:18 + 280 :16 •50 :125 в) 7,2:2,4 -0,6 :0,12 •0,125 + 7,5 г) 6-4,5 •0,4 :0,12 •7 + 0,8 Д) 8-1,2 + 0,4 •0,01 :0,5 :0,1 135 830. Какое число надо отнять от числителя и знаменателя дроби чтобы получить дробь, равную д? РуД о 831. Составьте три пропорции, используя верное равенство: а) 18 : 2 = 54 : 6; в) 2,8 • 45 = 6,3 • 20; б) 4,5 : 1,5 = 1,26 : 0,42; г) 3,9 • 0,14 = 0,6 • 0,91. 832. Две трети от двух третьих числа равны двум третьим. Какое это число? 833. Сколько гектаров в 1 м^? Сколько часов в 1 с? Сколько литров в 1 см^? 834. Известно, что объём пирамиды в 3 раза меньше объёма призмы такой же высоты и с таким же основанием (рис. 38). Вычислите объём четырёхугольной пирамиды, в основании которой прямоугольник со сто-2 9 ронами — дм и — дм, а высота равна 5 дм. Рис. 38 835. Чтобы приготовить 4 порции картофельной запеканки, нужно взять 0,44 кг картофеля. Сколько картофеля потребуется, чтобы приготовить 12 порций запеканки? 836. Некоторое расстояние ласточка пролетела за 0,5 ч со скоростью 50 км/ч. За сколько минут пролетит то же расстояние стриж, если будет лететь со скоростью 100 км/ч? 837. Начертите окружность и постройте два её радиуса, угол между которыми 120°. Закрасьте часть круга между этими радиусами. Какая часть круга окажется закрашенной и какая часть круга останется незакрашенной? 136 838. Решите задачу: !умма двух чисел 7 лу. Найдите эти числа 2) Разность двух чисе. числу. Найдите эти числа. 1) Сумма двух чисел 7,2, причём ^ большего числа равна меньшему чис- О 2) Разность двух чисел 1,5, причём 4- большего числа равна меньшему 4 а». 839. Решите уравнение: 3— 2-8- 14 2 — ^7 X .

Читайте также: Yandex диск для андроид

1,5’ 2) ^ = 4 840. Найдите с помощью карты расстояние от Москвы до Киева. 841. Измерьте длину и ширину своей комнаты. Начертите в тетради план этой комнаты в масштабе 1 : 100. 842. Расстояние на местности в 20 м изображено на плане отрезком 1 см. Определите масштаб плана. 843. Длина дома на плане 25 см. Чему равна длина дома на местности, если план сделан в масштабе 1 : 300? 844. Расстояние между городами равно 1300 км. Каким отрезком будет изображено это расстояние на карте, масштаб которой 1 : 10 000 000? 845. Длина детали на чертеже, сделанном в масштабе 1:3, равна 2,4 см. Чему будет равна длина этой детали на другом чертеже, сделанном в масштабе 2:1? 846. Найдите значение выражения: 10^ : 12 1 8 ; 2| а) — ■ 6i; б) ——^ .21 ’22 4-’ -§■ 24. Длина окружности и площадь круга Возьмём круглый стакан, поставим на лист бумаги и обведём его карандашом. На бумаге получится окружность. Если «опоясать» стакан ниткой, а потом распрямить её, то длина нитки будет приближённо равна длине нарисованной окружности (рис. 39). 137 2nr Длина окружности прямо пропорциональна длине её диаметра. Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к длине её диаметра является одним и тем же числом. Его обозначают греческой буквой п (читается: «пи»). Если обозначить длину окружности буквой С, а длину диаметра буквой d, то С : d = п. Поэтому С = nd. Так как диаметр окружности вдвое больше её радиуса, то длина окружности с радиусом г равна 2пг. Получили другую формулу длины окружности: С = 2пг. Подсчёты показали, что с точностью до десятитысячных п

3,1416. Если значение округлить до сотых, то получим значение 3,14. Примерно такую же 22 точность даёт значение п

\ б) -5,2 — 4,7; д)-1|-1|; 3)-i+0,5. в) -5,6 — (-3,8); 193 1133. Сравните: а) |-3,5 + 2,9| и |-3,5| + |2,9|; 1134. Вычислите устно: б) 1-8,7 — 0,7| и 1-8,7| + 1-0,7|. 1135. Представьте число -12 в виде разности: а) двух положительных чисел; б) двух отрицательных чисел; в) отрицательного и положительного чисел. (§1 1136. Может ли быть верным равенство а — Ь = Ь — а? Приведите примеры. Найдите условие, при котором данное равенство верно. 1137. Может ли разность двух чисел быть больше их суммы? 1138. Подберите такие отрицательные значения л: и г/, чтобы значение выражения х — у было равно: а) -10; б) 2,5; в) 0; r)-i; д) 1; е) 0,1. 1139. Выполните действия: а) 3,78 — (2,56 — 2,97); б) -6,19 + (-1,5 + 5,19). 1140. Решите уравнение: а) X + 3,2 = 1,8; в) 3,7 — х = -2,3; б) 4,8 — X = 5,6; г) JC — 3,9 = -2,7. 1141. Сосна выше ели на 1,2 м. Какова высота сосны и какова высота ели, если известно, что: а) сосна выше ели в 1,5 раза; б) ель в 1,6 раза ниже сосны; 194 в) высота ели составляет ^ высоты сосны; г) высота ели составляет 0,4 высоты сосны; д) высота ели составляет 80 % высоты сосны? 1142. Найдите значение выражения; 1) М . Z + М 4,8 • 8 3,9 4 . 26 • 0,8 ± 20,44 : 2,8’ 2) М М . qZL 5,1 ‘ 3 4,5 • 15 10,26 : 3,8 + 1,4 • 12 ‘ 1143. Найдите значение произведения: а) -24 • 36; д) -4,3 • 5,1; и) -1 • (-1); б) -48 • (-15); е) -2,7 • (-6,4); в) 33 • (-11); ж) -1 • (-3,84); г) 1,6 • (-2,5); 3) -7,2 • 0; к) (-3)2; л) (-2,5)2; м) (-0,2)2. 1144. Выполните умножение: а) I • -5i ; в) 3,6 • (-§ ; г) -I • 4.2; д) -2,8 • f-li]; е) -2^ • 0,125. 1145. Найдите значение выражения: а) 38 • (-3) — (-24) • (-4) + (-16) • (-30); б) (-2,8 + 6,1 — 3,4 + 6,2) • (-3,4); в) (4,3 — 7,8) • (-5,6 + 8,3); г) f-3i + 2|1 . Г-8| + 7|1; е) I • f-15.3-24.3-ll. 1146. В среду привезли на 4,8 т больше сена, чем во вторник. Сколько тонн сена привезли за эти два дня, если во вторник привезли в 1,4 раза меньше, чем в среду? 1147. Первое число 60. Второе число составляет 80% первого, а третье число составляет 50 % суммы первого и второго. Найдите среднее арифметическое этих чисел. 1148. Среднее арифметическое двух чисел равно 12,32. Одно из них составляет треть от другого. Найдите каждое число. 195 36. Деление Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел: по данному произведению и одному из множителей находят второй множитель. Например, разделить -12 на -4 — это значит найти такое число х, что -4-л: = -12. Сначала найдём знак числа х. Так как при умножении -4 на х получилось отрицательное число -12, то множители -4 и л: должны иметь разные знаки. Поэтому х — положительное число. Теперь найдём модуль числа х. Так как модуль произведения равен произведению модулей множителей, то |-12| = |-4|-|л:|. Отсюда |л:| = |-12| : |-4|. Но так как х — положительное число, то JC = |л:|. Значит, х = 3. Пишут: (-12) : (-4) = |-12| : |-4| = 3, или короче: (-12) : (-4) = 12 : 4 = 3. I Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя. Например, -4,5 : (-1,5) = 4,5 : 1,5 = 3; 4^ = 2. 4^2 5^5 “5 J 3-5 3 ■ 4 6‘ Разделить -24 на 4 — это значит найти такое число х, что 4-л: = -24. При умножении 4 на л: получилось отрицательное число -24, значит, множители 4 и X должны иметь разные знаки. Поэтому х — отрицательное число. При этом должно выполняться равенство | 4 | — |л:| = |-24l. Отсюда |л:| = |-24| : |4l = 24 : 4 = 6. Значит, х — отрицательное число с модулем 6, т. е. л: = -6. Итак, -24 : 4 = -6. Рассуждая таким же образом, получим, что 24 : (-4) = -6. При делении чисел с разными знаками, надо: 1) разделить модуль делимого на модуль делителя; 2) поставить перед полученным числом знак «-». Обычно вначале определяют и записывают знак частного, а потом уже находят модуль частного. Например, 3,6 : (-3) = -(3,6 : 3) = -1,2; 31 . 3 _ _ГЗ . 3^ _ _(3 . 41 _ _1 ‘8) -4 U • 4j [8 З) 2’ При делении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль. Делить на нуль нельзя! 196 Сформулируйте правило деления отрицательного числа на отрицательное. Сформулируйте правило деления чисел, имеющих разные знаки. Чему равно частное О : а, где а ^ О? 1149. Верно ли выполнено деление: а) -36 : 2 = -18; в) 2,7 : (-1) = 2,7; б) 60 : (-1,5) = -4; г) -7,5 : (-5) = 1,5? 1150. Найдите частное: а) -38 : 19; д) -5,1 : (-17); б) 45 : (-15); е) 650 : (-1,3); в) -36 : (-6); ж) -4,4 : 4; г) 270 : (-9); з) -8,6 : (-4,3); и) 48,1 : (-48,1); к) -950 : 9,5; л) -5,42 : (-27,1); м) 10,01 : (-1,3). Частное, в которое входят отрицательные числа, читают так; -54 : (-2,7) — частное минус пятидесяти четырёх и минус двух целых семи десятых, — минус пятьдесят четыре разделить на минус две целых семь десятых. (-6т) : (-3) — частное минус шести эм и минус трёх, — минус шесть эм разделить на минус три. Равенство, содержащее отрицательные числа, читают так: 2 4 — у д: = — YY — минус две седьмых икс равны минус четырём одиннадцатым. L55J 1151. Выполните деление: а) -5 : (-3); ж) ^ : [-й> Н) 4,2 : (-4) б) -7 : 5; 3) 1 : (-8); °)-| = (-0,8); в) 4 : (-18); И) -5 : f; п) -5,2 г) -8 : (-3); к)з| : Р) 3,2 : И]- л 5.3. Д) 8*4’ л)-1| : (-5|) — п ^ M)-4f :l|f; 197 1152. Выполните действия: а) -4 • (-5) — (-30) : 6; д) (-8 + 32) : (-6) — 7; б) 15 : (-15) — (-24) : 8; е) -21 + (-3 — 4 + 5) : (-2); в) -8 • (-3 + 12) : 36 + 2; ж) -6 • 4 — 64 : (-3,3 + 1,7); г) 2,3 • (-6 — 4) : 5; з) (-6 + 6,4 — 10) : (-8) • (-3). 1153. Найдите значение выражения: а) (Зт + 6т) : 9, если т = -12; -5,96; б) (5,2а — 5,2Ь) : 5,2, если а = -27, Ъ = -3,64. 1154. Чему равно частное: а) 87л: и 87; г) -41с и с; б) -3,7Л и 3,7; д) -1,9jc и хЧ в) 9т и т; 1155. Решите уравнение и выполните проверку: а) -д: • 4 = -100; б) 3 • (

х) = -27; в) -0,lz/ = 33; 1156. Решите уравнение: 8 13, т) -хх = -1. ^) е; ^ 10’ 7 У 91 ’ Q ^ 1 97* ^ ^ ^ Q’ 21 27’ 1157. Я задумал число, умножил его на 5, а затем из произведения вычел 2,7. В результате получил -21,7. Какое число я задумал? 1158. Найдите значение выражения: ч -2.4. -0,8’ ч 1.4 . 5,4 • (-1,7). -5,1 • 0,6 ’ Ж) -0,75 : 1^; и) «4 ^5 . 2 ’ -1— 15 3,8 ’ а». г) -1,3. 6,5 ’ е) 0,72 : j

3) -2,8 : 4|; а) б) 1159. Найдите неизвестный член пропорции: 2 11^ 9 _ 3. X -5,8 в) -2i -2,3 -4,6’ X 2 -2,8 35 -4,2 X ’ г) 7 3 14 -1 2’ К) — 4 198 б) 1161. При каких значениях множителей произведение ху равно нулю? не равно нулю? 1162. В каких случаях может быть верно равенство: а) X = х^; б) X = х^; в) х^ = х^1 1163. Проверьте на примерах справедливость равенства \аЬ\ = |а| • 1Ь|. Попробуйте доказать, что это равенство верно при любых значениях а и Ь. саб 1164. Вычислите: а) -17 • 5; г) -0,2 • 0,3; б) -| в) 25 д) l-il; е) (-3)3; ж) -1,3 • (-5); 3) (Ы) • (-5)* и) (-0,3 — 0,2) • (-6). 1165. Представьте числа 9; 16 и 25 в виде произведения двух равных множителей. Сколькими способами можно это сделать? 1166. Найдите значение выражения: а) -2,3 • 0,1 + 35 • (-0,01) — (-2,1) • (-0,2); б) (4,8 — 7,3 + 2,1 — 2,7 + 3,1) • (-183). 1167. На рисунке 90 показана карта мира с часовыми поясами. Определите с её помощью: а) поясное время в Екатеринбурге и Владивостоке, если в Москве полночь; б) поясное время в Лондоне, Токио, Нью-Йорке и 199 180 150 120 90 60 30 \Л VII VIII IX X XI XII XII Территории, на которых принято поясное время Территории, на которых принятое время отличается от Гринвичского на обозначенную величину На территории России часовая стрелка переведена на 1 час вперёд против поясного времени (по состоянию на 2009 г.) Рис. 90 Дели, если в Москве 11ч утра. Составьте сами и решите несколько задач на определение поясного времени. 1168. Костя и Вера вышли одновременно из одного и того же пункта в одном и том же направлении. Костя идёт со скоростью а км/ч, а Вера — со скоростью Ъ км/ч. Какое расстояние будет между ними через t ч? Составьте формулу для решения задачи, обозначив искомое расстояние (в километрах) буквой s и зная, что а > Ь. Найдите по формуле: а) S, если а = 4,2, Ь = 3,6, ^ если s = 0,3, а = 5,4, ^ = ^5 б) а, если S = 2,2, Ь = 3,2, t = г) i, если s = 1,2, а = 5,1, Ь = 3,3. Р.к 1169. Решите предыдущую задачу, заменив в ней слова «в одном и том же направлении» на слова «в противоположных направлениях». Найдите по полученной формуле: а) S, если а = 4,2, Ь = 3,6, ^ = ^5 в) Ь, если s = 1,5, а = 5,4, ^ б) а, если S = 2,2, Ь = 3,2, t г) t, если s = 5,6, а = 5,1, Ь = 3,3. 200 1170. При каких целых значениях х верно неравенство: а) -3,2 0; в) ху 5? ■ 1187. При каких значениях т верно равенство: а) \т\ = т\ г) m = |-m|; ж) m Ч- \т\ = 2т; б) |т| = -т; д) m = -m; з) m — |m| = 2m? в) -m = |-ml; e) m -I- |m| = 0; 1188. Может ли быть верным равенство а : Ь = Ь : а? Как доказать, что утверждение «Равенство а : Ь = Ь : а верно при любых значениях а и Ь» несправедливо? 1189. Отметьте на координатной прямой точки с целыми координатами: а) модуль которых больше 3 и меньше 7,1; 2 б) кратными двум, модуль которых больше 5 и меньше 10 у. 205 % 1190. Выполните деление: а) -50 : (-5); г) 2,4 : (-6); б) 4 : (-5); в) -3 : 7; д) -3,6 : 1,8; ч 2 . 1 1. е) 3 • 1 3» \ 5 5. ж) 0:0» 1 6 3)-l| : f-3|l 1191. Можно ли привести дробь ^ к знаменателю 20; 24; 45; 75; 80; 100; 1000? 1192. Можно ли привести к знаменателю 60 дроби: 1. 1. J_. J_« 4’ 7’ 12’ 22 1193. Можно ли представить в виде десятичной дроби числа 1. 2. 3. 1. 3’ 5’ 7’ 8’ 25’ 7* 1194. Можно ли привести к знаменателю 100 дробь если т = 2; 25; 3; 4? Мд 1195. Найдите значение выражения: 1) -2,79 : 3,1 + 24,24 : 2,4; 4) (1 — 1,3 • 1,6) • (-3,2); 5) fbll :3|; 2) 2,07 : (-2,3) + 13,13 : 1,3; 3) (1 — 1,5 • 1,4) • (-2,8); 1196. Представьте в виде — (где а — целое, ап — натуральное число): 2 + А 9 18 2 5 а) сумму “о + и сумму 3,9 — 4,7; 22 3 б) произведение ‘ ^ п ^ произведение -5,6 • (-1,2); в) частное -7,5 : (—0,25) и частное -0,8 : (-0,6). 1197. Проверьте, что верно равенство: а) 0,444. = б) 0,3(5) = 206 7 17 4 1198. Выразите дроби 15 ® виде приближенного значения де- сятичной дроби, округлив результат до тысячных. 1199. Два мальчика идут навстречу друг другу. Сейчас между ними 2 12 км. Скорость одного из них составляет ^ скорости другого. Найдите скорость движения каждого мальчика, если известно, что они встретятся через 1,5 ч. [521 1200. Найдите значение выражения: а) (-0,8 • 1,2 + 1,06) : (-0,5); б) (-30,15 : 15 + 0,91) • (-2,4). 38. Свойства действий с рациональными числами Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами. Иными словами, если а, Ь и с — любые рациональные числа, то а + Ь = Ь + а, а + <Ь + с) = <а + Ь) + с. Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю. Значит, для любого рационального числа имеем: а + О = а, а + <-а) = 0. Умножение рациональных чисел тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами. Другими словами, если а, Ь \л с — любые рациональные числа, то аЬ = Ьа, а<Ьс) = <аЬ)с. Умножение на 1 не изменяет рационального числа, а произведение числа на обратное ему число равно 1. Значит, для любого рационального числа а имеем: а*1=а, а • - = если а ^ 0. а Умножение числа на нуль даёт в произведении нуль, т. е. для любого рационального числа а имеем: а • о = 0. Произведение может быть равно нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю: если а • 6 = 0, то либо а = 0, либо Ь = 0 (может случиться, что и а = о, и 6 = 0). 207 Умножение рациональных чисел обладает и распределительным свойством относительно сложения. Другими словами, для любых рациональных чисел а, Ь ]л с имеем: <а + Ь) ■ с = ас + Ъс. Перечислите свойства сложения рациональных чисел. щ Перечислите свойства умножения рациональных чисел. В каком случае произведение двух чисел равно нулю? 1201. Сформулируйте словами переместительное свойство сложения а + Ь = 6 + аи проверьте его: а) при а = 0,7, Ь = 1,2; б) при а = -з|» & = -1^. 1202. Сформулируйте словами сочетательное свойство сложения а + (Ь + с) = (а + Ь) + с и проверьте его: б) при а = -1 о = -1^, с = -1-=. а) при а = -0,7, Ь = -0,3, с = 1,2; Р.Х * 1203. Сложив отдельно положительные и отдельно отрицательные числа, найдите значение выражения: а) -17 + 83 + 49 - 27 - 36 + 28; б) 2,15 - 3,81 - 5,76 + 3,27 + 5,48 - 4,33; =>4 + 4 — 5| — З5 — 2|; г) 0,8 — I — I + 0,3 — I + 0,4. 1204. Сложив сначала противоположные числа, найдите значение выражения: а) 387 — 243 — 753 — 387 + 243; в) з| -t- 2§ — 5| — з| — 2§; б) -6,37 + 2,4 — 3,2 -Ь 6,37 — 2,4; г) 0,5 + 2| — 3,3 — 2,8 — ^ -h 3,3. 1205. Упростите выражение: а) л: -Н 8 — дс — 22; в)а-/п + 7- 8-1-т; б) -JC — а + 12 + а — 12; г) 6,1 — k + 2,8 + р — 8,8 4- fe — р. 1206. Выбрав удобный порядок вычислений, найдите значение выражения: а) 7,8 + з| — 2,8 — з|; б) 4| — 3| — 9,5 -Ь bh А _ А _ оА _ Qi_ 1 1 14 1 3 14 12 14’ г) 3^ — 0,8 — 2| + 2,5 -Ь 0,3 -Ь 1^. 208 1207. Сформулируйте словами переместительное свойство умножения аЬ = Ьа VL проверьте его: а) при а = -0,3, Ь = 0,4; б) при а = -2^> Ь = -4^- 1208. Сформулируйте словами сочетательное свойство умножения а(Ьс) = (аЬ)с и проверьте его; 2 13 а) при а = 0,2, Ь = -0,5, с = 3,2; б) при а = — о’ Ь = -Ijj с = -г* 1209. Выбирая удобный порядок вычислений, найдите значение выражения: а) -2 • (-50) • 6 • 12; б) 11 • (-4) • (-7) • 25; в) -0,2 • 0,8 • (-5) • (-1,25); д)-з| • ■ (-3)-(-7); е)-0,2-2§ -(-0,5)- (-д1- 1210. Какое получится число (положительное или отрицательное), если перемножить: а) одно отрицательное и два положительных числа; б) два отрицательных и одно положительное число; в) 7 отрицательных и несколько положительных чисел; г) 20 отрицательных и несколько положительных? Сделайте вывод. 1211. Определите знак произведения: а) -2 • (-3) • (-9) • (-1,3) • 14 • (-2,7) • (-2,9); б) 4 • (-11) • (-12) • (-13) • (-15) • (-17) • 80 • 90. f§i 1212. Решите уравнение, использовав свойство произведения, равного нулю: а) 4 ■ (л: — 5) = 0; г) (Зх — 6) • 2,4 = 0; б) -8 • (2,6 -Ь д:) = 0; д) (х — 1) • (х — 2) = 0; в) 1,5 • (41 — х) = 0; е) (д: -Ь 3) • (д: -Ь 4) = 0. 1213. Сформулируйте словами распределительное свойство умножения (а + Ь) ‘ с = ас + Ьс и проверьте его: 2 3 2 а) при а = 0,2, Ь = -0,3, с = -0,5; б) при а = — у» 6 = — с = -1 5* 209 1214. Выбирая удобный порядок вычислений, найдите значение выражения: а) 0,3 • (-0,6) — (-0,7) • (-0,6); б) 8 • (-1] + 7 • (-!]; 1215. Вычислите устно: в) -^ -0,8+ 0,3- г) f-f — I] • (-28). а) б) 1216. Найдите сумму всех целых чисел: а) от -6 до 7; б) от -18 до 17; в) от -22 до 20. 1217. Решите уравнение: а) |jc| = 5,2; б) |о| = -31; в) \у\ = Q: 1218. Придумайте такие шение: значения а) f = 1; в) f = -1; д) 6)f =0; Df >0; е) 1219. Найдите наибольшее значение выражения: а) -|jcl; б) 2 — |jc|; в) -\х — 1|; г) -(х — 1)^. У 1220. Решать некоторые математические задачи помогают специ- альные схемы, состоящие из точек и соединяющих их дуг или стрелок 210 (рис. 91). Такие схемы называют графами, точки называют вершйнами графа, а дуги — рёбрами графа. Ответьте на вопросы, используя графы. а) В спортивном зале собрались Витя, Коля, Петя, Серёжа и Максим (рис. 91, а). Оказалось, что каждый из мальчиков знаком только с двумя другими. Кто с кем знаком? (Ребро графа означает «мы знакомы».) б) Во дворе гуляют братья и сёстры одной семьи. Кто из этих детей мальчики, а кто девочки (рис. 91,6)? (Пунктирные рёбра графа исходят от сестёр, а сплошные — от братьев.) А М 1221. Вычислите: а) 2-i-4; б) (5 — й] • 6; В) 0,5 • (-4); г) 8 : (-0,4); » 1222. Сравните: а) 23 и 32; б) (-2)3 и (-3)2; б) Рис. 91 е) -1 : |; ж) J — 5|; з) 0,25 — в) 13 и 12; г) (-1)3 и (-1)2. 1223. Округлите 5,2853 до тысячных; до сотых; до десятых; до единиц. 1224. Решите задачу: 1) Мотоциклист догоняет велосипедиста. Сейчас между ними 23,4 км. Скорость мотоциклиста в 3,6 раза больше скорости велосипедиста. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста, если известно, что мотоциклист 2 догонит велосипедиста через ^ ч. U 2) Легковая автомашина догоняет автобус. Сейчас между ними 18 км. Скорость автобуса составляет ^ скорости легковой автомашины. Найдите О 211 скорости автобуса и легковой автомашины, если известно, что легковая автомашина догонит автобус через ^ ч. О 1225. Найдите значение выражения: 1) (0,7245 : 0,23 — 2,45) • 0,18 + 0,074; 2) (0,8925 : 0,17 — 4,65) • 0,17 + 0,098; 3) (-2,8 + 3,7 — 4,8) • 1,5 : 0,9; 4) (5,7 — 6,6 — 1,9) • 2,1 : (-0,49). Проверьте ваши вычисления с помощью микрокалькулятора. 1226. Выбрав удобный порядок вычислений, найдите значение выражения: а) -24 -Ь (-16) -Ь (-10) + 23 + 17; б) 36 -Ь 72 + 24 — 36 — 72 — 24; в) -3,4 — 7,7 -Ь 4,2 — 8,9 + 3,5; г) —3,9 -Ь 8,6 -Н 4,7 + 3,9 — 4,7; 4^2 „2 к5,^1 с1,оЗ. Д)4? Зд 5^-Ь1д 5д-Ь2^, чс2 -2 ^,1 е)6д 5д 4^+5д+4^ 6д. 1227. Упростите выражение: а) -36 + 7П + 24; в) 5,7 — 7,7 + а; б) п + 42 — 13; г) -0,44 + д: — 0,22; 1228. Найдите значение выражения: д) I — 0,375 + k; 4^5 2 е) m + 3 — 3- а) -5 • (-1,2) • (-7); .5 3.2 f_2 ]. ®)»7 ■ 8 ■ I5 ■ 1 3> б) -12,5 • 2,4 • (-3) • (-5); г) -0.7 • (-§] • 4,5 • 10. 1229. Выполните действия: а) 0,8 • (-0,3) — 0,6 • (-0,3); г)2§ -3,7-2^ -(-5,3); б)-^ -0,4-0,4- (-п) Д) (“^1 » ^?] • 14; 7 4 4 1. 8 9 9 8’ е) (§-!)• 20. 212 1230. По плану метростроевцы должны были проложить 2,5 км тоннелей. Они проложили 3,2 км тоннелей. На сколько процентов метростроевцы выполнили план и на сколько процентов они перевыполнили план? 1231. Автомашина прошла 240 км. Из них 180 км она шла по просёлочной дороге, а остальной путь — по шоссе. Расход бензина на каждые 10 км просёлочной дороги составил 1,6 л, а по шоссе — на 25% меньше. Сколько литров бензина в среднем расходовалось на каждые 10 км пути? 1232. Выезжая из села, велосипедист заметил на мосту пешехода, идущего в том же направлении, и догнал его через 12 мин. Найдите скорость пешехода, если скорость велосипедиста 15 км/ч, а расстояние от села до моста 1 км 800 м. 1233. Выполните действия: а) -4,8 • 3,7 — 2,9 • 8,7 — 2,6 • 5,3 -t- 6,2 • 1,9; б) -14,31 : 5,3 — 27,81 : 2,7 -Ь 2,565 : 3,42 + 4,1 • 0,8; в) 3,5 • 0,23 — 3,5 • (-0,64) + 0,87 • (-2,5). А с рациональными числами люди, как вы знаете, знякомылысь постепенно. Вначале при счёте предметов возникли натуральные числа. На первых порах их было немного. Так, ещё недавно у туземцев островов в Торресовом проливе (от-деляю1цем Новую Гвинею от Австралии) были в языке названия только двух чисел: «урапун» (один) и «оказа» (два). Островитяне считали так: «оказа-урапун» (три), «оказа-оказа» (четыре) и т. д. Все числа, начиная с семи, туземцы называли словом, обозначавшим «много». Учёные полагают, что слово для обозначения сотни появилось более 7000 лет назад, для обозначения тысячи — 6000 лет назад, а 5000 лет тому назад в Древнем Египте и в древнем Вавилоне появляются названия для громадных чисел — до миллиона. Но долгое время натуральный ряд чисел считался конечным: люди думали, что существует самое большое число. Величайший древнегреческий математик и физик Архимед (287—212 до н. э.) придумал способ описания громадных чисел. Самое большое число, которое умел называть Архимед, было настолько велико, что для его цифровой записи понадобилась бы лента в две тысячи раз длиннее, чем расстояние от Земли до Солнца. Но записывать такие громадные числа ещё не умели. Это стало возможным только после того, как индийскими математиками в VI в. была придумана цифра нуль U ею стали обозначать отсутствие единиц в разрядах десятичной записи числа. 213 При разделе добычи и в дальнейшем при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести «ломаные числа» — обыкновенные дроби. Действия над дробями ещё в Средние века считались самой сложной областью математики, до сих пор немцы говорят про человека, попавшего в затруднытельное положение, что он «попал в дроби». Чтобы облегчить действия с дробями, были придуманы десятичные дроби. В Европе их ввёл в 1585 г. голландский математик и инженер Симон Cm евин. Отрицательные числа появились позднее, чем дроби. Долгое время такие числа считали «несуществующими», «ложными» прежде всего из-за того, что принятое истолкование для положительных и отрицательных чисел «имущество — болг» приводило к недоумениям: можно сложить или вычесть «имущества» или «долги», но как понимать произведение или частное «имущества» и «долга»? Однако, несмотря на такие сомнения и недоумения, правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел были предложены в III в. греческим математиком Диофантом (в виде; «Вычитаемое, умноженное на прибавляемое, даёт вычитаемое: вычитаемое на вычитаемое даёт прибавляемое» и т. д.), а позже индийский математик Бхаскара (XII в.) выразил те же правила в понятиях «имущество», «долг» («Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество; произведение имущества и долга есть долг». То же правило и при делении). Было установлено, что свойства действий над отрицательными числами те же, что и над положительными (например, сложение и умножение обладают переместительным свойством), и наконец с начала XIX в. отрицательные числа стали равноправными с положительными. В дальнейшем в математике появились новые числа — иррациональные, комплексные и другие. О них вы узнаете в старших классах. §8. Решение уравнений 39. Раскрытие скобок Выражение а + (б + с) можно записать без скобок: а + (б + с) = а + б + с. Эту операцию называют раскрытием скобок. Пример 1. Раскроем скобки в выражении а + (-6 + с). Решение. а + (-6 + с) = а + ((-б) + с) = а + (-6) + с = а- б + с. Если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак »+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком «+». 214 Пример 2. Найдём значение выражения -2,87 + (2,87 — 7,639). Решение. Раскрывая скобки, получим -2,87 + (2,87 — 7,639) = -2,87 + 2,87 — 7,639 = О — 7,639 = -7,639. Чтобы найти значение выражения -(-9 + 5), надо сложить числа -9 и 5 и найти число, противоположное полученной сумме: -(-9 + 5) = -(-4) = 4. То же значение можно получить по-другому: вначале записать числа, противоположные данным слагаемым (т. е. изменить их знаки), а потом сложить: 9 + (-5) = 4. Таким образом, -(-9 + 5) = 9 — 5 = 4. I Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых. Значит, —<а + Ь) = -а - Ь. Пример 3. Найдём значение выражения 16 - (10 - 18 + 12). Решение. 16 - (10 - 18 + 12) = 16 + (-(10 - 18 + 12)) = = 16 + (-10 + 18 - 12) = 16 - 10 + 18 - 12 = 12. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», надо заменить этот знак на «+», поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки. Пример 4. Найдём значение выражения 9,36 - (9,36 - 5,48). Решение. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (-9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = о + 5,48 = 5,48. Раскрытие скобок и применение переместительного и сочетательного свойств сложения позволяют упрощать вычисления. Пример 5. Найдём значение выражения (-4 - 20) + (6 + 13) - (7 - 8) - 5. Решение. Сначала раскроем скобки, потом найдём отдельно сумму всех положительных и отдельно сумму всех отрицательных чисел и, наконец, сложим полученные результаты: (-4 - 20) + (6 + 13) - (7 - 8) - 5 = -4 - 20 + 6 + 13 - 7 + 8 - 5 = = (6 + 13 + 8) + (-4 - 20 - 7 - 5) = 27 - 36 = -9. 215 Пример 6. Найдём значение выражения -з| - if. Решение. Сначала представим каждое слагаемое в виде суммы их це- лой и дробной частей, затем раскроем скобки, потом сложим отдельно целые и отдельно дробные части и, наконец, сложим полученные результаты: =-3 - I + 2 + I - 1 - I = (-3 ^ 2 - 1) + + I - I _ _Р , —10 + 9-8 _ _р . ^9 _ _р _ ^ = о А 12 12 4 4‘ Как раскрывают скобки, перед которыми стоит знак «+»? Как можно найти значение выражения, противоположное сумме нескольких чисел? Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-»? 1234. Раскройте скобки: а) 3,4 + (2,6 + 8,3); в) т + (п - k); б) 4,57 -Ь (2,6 - 4,57); г) с + (-а -Ь Ь), 1235. Найдите значение выражения: а) -(-5,75 -Ь 3,24); б) -(6,38 - 2,47); 1236. Раскройте скобки: а) 85 + (7,8 -Ь 98); г) -(80 - 16) + 84; б) (4,7 - 17) -Ь 7,5; д) -а + (т - 2,6); в) 64 - (90 + 100); е) с 4- (-а - Ь); в) - ж) а - (Ь - k - п); з) -(а - Ь + с); и) (т - п) - <р - k). 1237. Раскройте скобки и найдите значение выражения: а) 5,4 + (3,7 - 5,4); б) -8,79 + (-1,76 + 8,79); в) 3,4 -Ь (2,9 - 3,4 -Ь 4,1); г) (4,67 - 3,94) + (3,94 - 3,67); д) 7,2 - (3,2 - 5,9); е) (4,8 + 2,75) - (4,8 - 3,25); ж) -6,9 - (4,21 - 10,9); з) (3,72 - 5,43) - (4,57 -h 3,22); + (-f-f) 216 л) |8|-7§] + (2,25-2||; м) 3,15+ ||-2,15|; o)4|-f2| + lil; ^ q14 _ fi _ А|- л) о 15 I я 1S )’ Р)|7И_з,21-|2^ + 1,8 1238. Упростите выражение: а) 0,4 + (/п - 22); и) m - (п + т)\ б) (6-х)+ у; в) -0,16 + (4,06 - т); г) (16 - а) - 20^; д) р + (1,4 -р); е) -а + (а - 1,1); I “ [I" Н’ з) -8,3 - (-Х - 8,3); к) -(п - х) - х; л) р + (-ГП + k - р); м) -а - <т - а + р); н) -(/71 - а) - (k + а); о) т + (k - а - т); и) т - (а + т) - (-а - т); р) а - (а - Ь). 1239. Напишите сумму двух выражений и упростите её: а) -4 - т и т + 6,4; г) а + 6 и р - Ь; б) 1,1 + а и -26 - а; д) -т + п и -k - п; в) а + 13 и -13 + Ь; е) пг - п и п - т. 1240. Напишите разность двух выражений и упростите её: а) -3 + а и а + 60,1; г) -а + Ь и Ь - а; б) 3,2 - п и -п + 1 gJ в) т + п и k + т; д) -р - а и k - а; е) т - а и -а + т - Ь. 1241. Решите уравнение: а) 7,2 - (6,2 - х) = 2,2; г) (л: + 3) - 17 = -20; б) -5 + (а - 25) = -4; д) -(10 - Ь) + 23,5 = -40,4; 8’ е) I ^ + 15] 15 217 1242. Решите с помощью уравнения задачу: а) На одной полке 42 книги, а на другой — 34. Со второй полки сняли несколько книг, а с первой — столько, сколько осталось на второй. После этого на первой полке осталось 12 книг. Сколько книг сняли со второй полки? б) В первом классе 42 ученика, во втором — на 3 ученика меньше, чем в третьем. Сколько учеников в третьем классе, если всего в этих трёх классах 125 учеников? Щ 1243. Найдите значение выражения: 7 14 а) -5^ +3т^; 15’ 7 9 г) -55 + б) 3^ -4^; в) -35 -ifs Д)2| +зА -6^; 8 ^15

5,4) — j(2,lm — 4,2); з) |(0,3i/ — 0,6) — f(0,4j/ — 0,8). 1308. Решите уравнение: а) 3(1/ — 5) — 2(1/ — 4) = 8; в) |(3л: — 6) — f (7л: — 21) = 9; б) -5(5 — х)- 18; г) 5,4(3г/ — 2)-7,2(2г/ — 3) = 1,2. 1309. Группа туристов 1 ч ехала на автобусе, а затем 6 ч шла пешком со скоростью на 18 км/ч меньшей, чем скорость автобуса. Всего группа преодолела 67 км. Найдите скорость автобуса и туристов в пешем походе. 1310. В трёх классах 71 учаш;ийся. В первом классе учащихся на 4 человека больше, чем во втором, и на 3 человека меньше, чем в третьем классе. Сколько учащихся в каждом классе? 1311. Определите масштаб карты, если расстояние между двумя пунктами на местности 750 м, а на карте 25 мм. 1312. Какой длины отрезком изображается на карте расстояние 6,5 км, если масштаб карты 1 : 25 000? 1313. На карте отрезок имеет длину 12,6 см. Какова длина этого отрезка на местности, если масштаб карты 1 : 150 000? 42. Решение уравнений Пример 1. Решим уравнение 4 • (л: + 5) = 12. Решение. По правилу отыскания неизвестного множителя имеем л: + 5 = = 12 ; 4, т. е. л: + 5 = 3. Это же уравнение можно получить, разделив обе части данного уравнения на 4 или умножив обе части на Теперь легко найти значение х. Имеем л: = 3 — 5, или х = -2. Число -2 является корнем уравнения х + 5 = 3 и уравнения 4 • (х + 5) = 12, так как -2 + 5 = 3 и 4 • (-2 -н 5) = 12. ■ Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. Пример 2. Решим уравнение 2х + 5 = 17. Ре ш е н и е. По правилу отыскания неизвестного слагаемого имеем 2х = = 17 — 5, т. е. 2х = 12. Уравнения 2х + 5=17и2х=17-5 имеют один и тот же корень 6, так как 2-6-1-5=17и2-6=17-5. Уравнение 2х = 17 — 5 можно записать так: 2х = 17 + (-5). Видим, что корень уравнения 2х + 5 = 17 не изменяется, если перенести слагаемое 5 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный. 229 Пример 3. Решим уравнение 5х = 2х + 6 (рис. 93). Решение. Вычтем из обеих частей уравнения по 2х (снимем с обеих чашек весов по две буханки хлеба). Получим 5л: — 2л: = 2л: — 2л: + 6. Но 2л: — 2л: = О, значит, 5л: — 2л: = 6. Это уравнение можно получить из данного, если слагаемое 2л: перенести из правой части в левую, изменив его знак на противоположный. Решая дальше уравнение 5л: — 2л: = 6, получим Зл: = 6 и л: = 2. Число 2 есть корень уравнения 5л: — 2л: = 6 и уравнения 5л: = 2х + 6, так как 5-2 — 2-2 = 6 и 5*2 = 2*2 + 6. Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак. Пример 4. Решим уравнение + ^2 = х. Решение. Умножим левую и правую части уравнения на 3 для того, чтобы освободиться от дробного коэффициента. Получим х + 36 = Зх. Перенесём с противоположными знаками слагаемое 36 из левой части в правую, а слагаемое Зл: из правой части в левую: л: — Зл: = -36. Упростим левую часть уравнения: -2л: = -36. Теперь разделим обе части уравнения на -2, получим л: = 18. Число 18 является корнем данного уравнения + 12 = л:, так как верно равенство :^*18 + 12 = 18. Во всех рассмотренных примерах мы приводили данные уравнения к виду ах = Ь, где а Ф 0. Уравнение, которое можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых и приведения подобных слагаемых, называют линейным уравнением с одним неизвестным. Обе части уравнения умножили на число, не равное 0. Изменились ли корни Р данного уравнения? Обе части уравнения разделили на одно и то же число, отличное от нуля. Изменились ли корни данного уравнения? Сформулируйте правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую. Какие уравнения называют линейными? 230 1314. Перенесите из левой части уравнения в правую то слагаемое, которое не содержит неизвестного: а) Sx + 5,9 = 7х + 20; б) 6л: — 8 = -5х — 1,6. 1315. Соберите в левой части уравнения все слагаемые, содержащие неизвестное, а в правой — не содержащие неизвестное; а) 15у — 8 = -6у + 4,6; б) -1б2 + 1,7 = 22-1. н 1316. Решите уравнение: © а) 6л — 12 = 5л + 4; д) 4 -Ь 26у = 6 + 24у; б) -9а + 8 = -10а — 2; е) 11 — 52 = 12- 62; в) 7т + 1 = 8тп -Ь 9; ж) Ак + 7 = -3 + 5к; г) -12п — 3 = 11/1 — 3; з) 6 — 2с = 8 — Зс. Уравнение -7у + 9 = -Sy — 3 читают так: — сумма минус семи игрек и девяти равна сумме минус восьми игрек и минус трёх. Корень этого уравнения — число минус двенадцать. 158. 1317. С помощью умножения обеих частей уравнения на одно и то же число освободитесь от дробных чисел и решите уравнение: 2 — ч 1 1 дЛ:-Ь5; ъ) -^х + -^х Л- о = х\ 3^ 2^ ^ \ а) ^л:-1-3 = |л: + 5; 6) \у — \ у + 2 = jy — г) 0,2л: + 2,3 = 0,7л: — 3,2. 1318. Решите уравнение и выполните проверку: а) -40′(-7л: + 5) = -1600; в) 2,1-(4 — 6i/) = -42; б) (-20л — 50)-2 = 100; г) -3-(2 — 15л) = -6. % 159J 1319. Найдите корень уравнения: а) 0,5л + 3 = 0,2л; б) -0,4а — 14 = 0,3а; д) |а-12,5- |а- в) 2х — f л: + 7^; г) 6,9 — 9п = -Ъп — 33,1; е) 4,7 — 82 = 4,9 — IO2; ж) 7,3а = 1,6а; з) -19i = lit. 231 1320. Решите уравнение, используя основное свойство пропорции: а) X — г 7. 3’ в) _ м. 4,5 = 2х + 3 X + 7 3 0,2 л: + 3 2х — 3, 5 = 0,7 X — 2’ 1321. В первом бидоне в 3 раза больше молока, чем во втором. Если из первого перелить 20 л во второй, то молока в бидонах будет поровну. Сколько молока в каждом бидоне? 1322. Длина отрезка АВ на 2 см больше, чем длина отрезка CD. Если длину отрезка АВ увеличить на 10 см, а длину отрезка CD увеличить в 3 раза, то получатся равные результаты. Найдите длину отрезка АВ. 1323. Автобус проходит расстояние от города до села за 1,8 ч, а легковая автомашина — за 0,8 ч. Найдите скорость автобуса, если известно, что она меньше скорости легковой автомашины на 50 км/ч. 1324. На первую автомашину погрузили на 0,6 т зерна больше, чем на вторую. Если бы на первую автомашину погрузили в 1,2 раза больше, а на вторую в 1,4 раза больше, то груза на обеих автомашинах было бы поровну. Сколько тонн груза погрузили на каждую автомашину? РуХ ‘ 1325. В спортивном лагере ^ прибывших туристов разместили в гостинице, 4 — в летних домиках, а остальных 75 туристов — в палатках, о Сколько туристов прибыло в спортивный лагерь? 1326. В школьной библиотеке есть художественная, научно-популярная и справочная литература. Число книг с художественными произведениями составляет ^ всех книг библиотеки, число научно-популярных книг составляет ^ от числа художественных, а остальные 160 книг — справочники. Сколько всего книг в библиотеке? 1327. Три завода получили заказ на изготовление моторов. Первый за- 5 вод выполнил 0,56 всего заказа, второй — — того, что выполнил первый завод, а третий завод изготовил остальные 240 моторов. Сколько всего моторов изготовили все три завода? 1328. Верёвку длиной 63 м разрезали на два куска так, что 0,4 длины первого куска были равны 0,3 длины второго куска. Найдите длину каждого куска верёвки. 232 1329. На отливку блока объёмом 2,5 м^ требуется 5,5 т бетона. На сколько увеличится расход бетона при отливке блока объёмом 2,9 м^? 1330. В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70% соли. Сколько граммов соли было в растворе первоначально? 1331. Вычислите устно: а) 8 — 70 -19 :3 •(-2) б) -19 + 100 :(-3) -13 + 6 в) -18 — 46 :16 -77 :(-3) г) -15*6 :9 •(-13) -260 1332. При каких значениях а верно неравенство: а) а а? 1333. Приведите подобные слагаемые: а) 9,5т + Зт; б) 6Ь — Ъ\ в) CL g CL\ г) у m — m; д) 1,2у + 3,б1/ — 0,7i/; 4 2 1 ж) -Ах — л: + 3; з) 1х — Qy — 2х Sy. 1334. Упростите выражение: а) 2х — (х + 1); б) /г + 2(3тг — 1). 1335. Расфасовочная машина может всю привезённую продукцию обработать за 20 ч. Определите: а) какую часть всей продукции она обработает за 1 ч; б) сколько процентов всей продукции она обработает за 1 ч; в) какую часть всей продукции она обработает за 8 ч; г) сколько процентов всей продукции она обработает за 9 ч. 1336. За какое время всё свекловичное поле уберёт уборочная машина, я известно, что в) 0,4 всего поля? если известно, что она за 1 ч убирает: а) 5 % всего поля; б) ^ всего поля; Р.Д 1-^ 1337. За какое время двигатель израсходует весь бензин из бака, если 4 он: а) за 3 ч расходует 12% всего бензина; б) за 3 ч расходует всего бензина; в) за 6 ч расходует 0,24 всего бензина? 233 1338. Докажите, что при любом значении буквы значение выражения: 1) 5*(7i/ — 2) — 7′(5г/ + 2) равно -24; 2) 4* (8а + 3) — 8* (4а — 3) равно 36. 1339. Найдите значение выражения: 1) (503,44 : 12,4 — 225,36 : 7,2)-(1,6905 : 0,49); 2) (971,1 : 23,4 — 211,14 : 6,9)-(6,5704 : 0,86). 1340. Старинная задача. — Скажи мне, учитель, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы. — Вот сколько, — ответил учитель. — Половина изучает математику, четверть — природу, седьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть ещё три женщины. I60j 1341. Решите уравнение и выполните проверку: а) -20-(д: — 13) = -220; г) (2,8 — 0,1л:)-3,7 = 7,4; б) (30 — 7л:)-8 = 352; д) (Зл: — 1,2)*7 = 10,5; е) ч 5 3 1. ло У л о’ 12 1342. Решите уравнение: 1 5 1 _ 1 1 + gX 1 Ig. а) -27jc 4- 220 = -5х; б) 7а = -310 + За; в) -2х + 16 = 5х — 19; г) 25 — ЗЬ = 9 — 5Ь; д) 3 + Ир = 203 + у; е) 3*(4л: — 8) = Зд: — 6; ж) -4* (-2 + 7) = 2 + 17; з) с — 32 = (с + 8)*(-7); и) 12 — 2-(k + 3) = 26; к) -5*(3а + 1) — 11 = -16; л) -3,2а + 4,8 = -2’(1,2а + 2,4); м) -5*(0,82 — 1,2) = -2 + 7,2. 1343. Одно число больше другого в 4,5 раза. Если от большего числа отнять 54, а к меньшему прибавить 72, то получатся равные результаты. Чему равны эти числа? 1344. Бутылка с кефиром в 2 раза тяжелее пустой бутылки (рис. 94). Галя выпила половину бутылки кефира. Сколько граммов кефира выпила Галя? Рис. 94 234 1345. У Миши и Коли в коллекциях было одинаковое число марок. Когда Миша подарил часть своих марок младшему брату, а Коля в 1,4 раза меньшее число своих марок отдал на выставку, у Миши осталось 20 марок, а у Коли — 40 марок. Сколько марок было у каждого мальчика первоначально, сколько марок Коли на выставке и сколько марок Миша подарил брату? 1346. На одной полке было в 3 раза больше книг, чем на другой. Когда с одной полки сняли 8 книг, а на другую положили 32 книги, то на полках стало книг поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально? 1347. В двух бочках 725 л бензина. Когда из первой бочки взяли 2 а из второй бочки у бензина, то в обеих бочках бензина стало поровну. Сколько литров бензина было в каждой бочке первоначально? 61, а) 1348. Решите уравнение, используя основное свойство пропорции: 4,6 _ 8,4 X + 4,4 Зх + 5,1’ б) 4 _ 4 X + X Ig 1349. Смешали индийский и грузинский чай. Индийский чай составил 30% всей смеси. Если в эту смесь добавить ещё 120 г индийского чая, то он будет составлять 45 % смеси. Сколько граммов индийского чая было в смеси первоначально? 1350. Поезд шёл 3,5 ч со скоростью 64,4 км/ч. На сколько надо увеличить скорость поезда, чтобы пройти это расстояние за 2,8 ч? 1351. Одна поливочная машина может полить всю улицу за 15 мин, а другая — за 12 мин. Какую часть улицы польют обе машины за 1 мин? за 3 мин? Л Среды задач, которые с давних времён приходилось решать людям, много было похожих, однотипных: вычисление плои<адей участков, нахождение объёмов фигур определённой формы, деление доходов, вычисление стоимости товара, измерение массы с помощью различных единиц и другие. Для однотипных задач в разное время, в разных странах пытались отыскать общие способы, правила решения. В этих правилах раскрывалось, как найти неизвестную величину через данные числа для группы похожих задач. Так возникла алгебра — один из разделов математики, в котором вначале в основном рассматривалось решение различных уравнений. 235 Аль-Хорезми Некоторые алгебраические понятия и общие приёмы решения задач знали уже в Древнем Вавилоне и Египте более 4000 лет назад. Большой вклад в создание алгебры внёс выдающийся древнегреческий математик Диофант (III в.), которого по праву считают «отцом алгебры», дыофант умел решать очень сложные уравнения, применял для неизвестных буквенные обозначения, ввёл специальный символ для вычитания, использовал сокращения слов. в начале нашей эры греческая наука и культура пришли в упадок. Но к тому времени больших успехов в развитии математики достигли индийские учёные. С V по XII в. ими было сделано много открытий, значительно обогатились начала алгебры. Культуру древних индийцев усвоили их соседи — арабы, узбеки, персы, таджики U другие народы, и в IX—XV вв. мировым центром наук становится Средняя Азия, подарившая миру много учёных-математиков. их труды в дальнейшем оказали большое влияние на развитие науки в Европе. В 825 г. арабский учёный аль-Хорезми написал книгу «Китаб аль-джебр валь-мукабала», что означает «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. С этого времени алгебра становится самостоятельной наукой, само слово «алгебра» произошло от слова «аль-джебр» — восполнение; так аль-Хорезми называл перенос отрицательных слагаемых из одной части уравнения в другую с переменой знака, в дальнейшем большой вклад в развитие алгебры внесли европейские учёные Франсуа Buem (1540—1603) и Рене Декарт, которые ввели в алгебру буквы U разработали правила действий с буквенными выражениями. Ф. Виет §9. Координаты на плоскости 43. Перпендикулярные прямые 1Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными (рис. 95). Пишут: АВ J. MN. Эту запись читают: «Прямая АВ перпендикулярна прямой MN». Если АВ 1 MN, то MN 1 АВ. 236 Для построения перпендикулярных прямых используют чертёжный треугольник (рис. 96) или транспортир (рис. 97). Отрезки (или лучи), лежащие на перпендикулярных прямых, называют перпендикулярными отрезками (или лучами) (рис. 98). Рис. 98 Какие прямые называют перпендикулярными? Какие отрезки и какие лучи называют перпендикулярными? С помощью каких чертёжных инструментов строят перпендикулярные прямые? а 1352. Постройте с помощью транспортира две перпендикулярные пря- мые. 1353. Определите сначала на глаз, а потом проверьте с помощью чертёжного треугольника, какие пары прямых на рисунке 99 перпендикулярны. 1354. Начертите прямую МР и отметьте точку А, не лежащую на этой прямой. Проведите с помощью чертёжного треугольника через точку А прямую, перпендикулярную прямой МР. Сколько прямых, перпендикулярных МР, можно провести через точку А? 237 Рис. 100 ' ‘ 1355. Начертите в тетради прямую АВ и отметьте точку М так, как показано на рисунке 100. Проведите через точку М перпендикуляр к прямой АВ, 1356. Какие из отрезков, изображённых на рисунке 101, перпендикулярны? 1357. Начертите прямой угол. Отметьте на сторонах угла по одной точке и проведите через них прямые, перпендикулярные сторонам угла. Отметьте точку пересечения этих прямых. Что за четырёхугольник получился на чертеже? 1358. Найдите корень уравнения: а) 2х - 5 = X + 2; в) 0,5у - 0,6 = 0,li/ + 0,2; 2 , 3 1 ч 2 2 5^’ ^^3^ 9^ 1359. Сумма трёх последовательных целых чисел равна нулю. Какие это числа? Рис. 102 ' ‘ 1360. Расставьте числа 1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, 9 в клетках квадрата (рис. 102) так, чтобы их произведения по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям были положительны. 1361. Трое ребят нашли в лесу 200 грибов. Никита нашёл 40% всех грибов, Олег — ^ числа грибов, которые нашёл Никита, Дима нашёл остгшьные грибы. Сколько грибов нашёл Дима? 238 1362. От куска провода отрезали 50 %, а потом ещё 20 % остатка. После этого осталось 60 м провода. Сколько метров провода было в куске первоначально? У 1363. Старинная задача. В клетке сидят фазаны и кролики. У них 19 голов и 62 ноги. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке? йб 1364. Найдите значение выражения: 8,1 1) 2— . _ 1-1 • (—2) 7 5,1 ^3 • ^ (9 - 1,5) : 25 3 + 2) 5,2 -I (8,5 - 4,7) : 38 1365. Перечертите рисунок 103 в тетрадь. Проведите через точки М и Р прямые, перпендикулярные прямой I. а) б) Рис. 103 в) 1366. Начертите два перпендикулярных отрезка — АВ и MN — так, чтобы они: а) не пересекались; б) пересекались. 1367. Начертите два перпендикулярных луча так, чтобы они: а) не пересекались; б) пересекались; в) имели общее начало. 1368. В каждом из двух вагонов трамвая было одинаковое число пассажиров. После остановки в первом вагоне стало на 20 пассажиров мень- с ше, а во втором — на 10 и число пассажиров в первом вагоне составило ^ и числа пассажиров во втором вагоне. Сколько пассажиров было в каждом вагоне до остановки? 239 1369. Выполните действия: а) 12 + 7,8 • (8,1 - 8,4); в) 18,2 : (-9,1) • 0,7 - 3,4 • (-2,3) : 17; б) -6 - 4,5 • (5,2 - 10,6); г) -16,4 : (-8,2) • (-0,6) + 5,2 • 3,8 : (-19). 44. Параллельные прямые Две различные прямые могут либо пересекаться в одной точке, либо не пересекаться. 1Две непересекающиеся прямые на плоскости называют параллельными. Пишут: АВ II MN. Эту запись читают: «Прямая АВ параллельна прямой MN». Если АВ II MN, то MN || АВ (рис. 104). Отрезки (лучи), лежащие на параллельных прямых, называют параллельными отрезками (лучами) (рис. 105, 106). В Прямые m и л на рисунке 107 перпендикулярны прямой I. Они параллельны друг другу. ■ Если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Поэтому противоположные стороны любого прямоугольника параллельны (рис. 108). Они образуют прямые углы с двумя другими сторонами этого прямоугольника. Рис. 108 240 На рисунке 109 показано, как с помощью треугольника и линейки можно построить прямую п, параллельную прямой т. ■ Через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой. Какие прямые называют параллельными? щ Какие отрезки называют параллельными? На плоскости проведена прямая и отмечена точка, не лежащая на этой прямой. Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через эту точку? Могут ли пересечься две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой? & 1370. Начертите пять параллельных друг другу прямых. 1371. Начертите прямую I и отметьте точки М и К вне этой прямой. Проведите через точки М и К прямые, параллельные прямой I. 1372. Начертите треугольник и проведите через каждую вершину прямую, параллельную противоположной стороне. 1373. Найдите с помощью линейки и треугольника все пары параллельных прямых, изображённых на рисунке 110. 1374. Начертите прямую т и отметьте на ней три точки — А, В и С. Через эти точки проведите прямые, перпендикулярные прямой т. Отметьте на этих прямых параллельные отрезки. 1375. Постройте угол АОВ, равный 35°. Отметьте точку М на стороне ОА и точку N на стороне ОВ. Проведите через точку М прямую, перпендикулярную стороне ОВ, а через точку N прямую, перпендикулярную стороне ОА. 1376. Решите уравнение: а) Зх - 5 = X + 7; б) + 1; вИ = ^ у 8’ г) ^ . ’ 5 10 1377. Приведите подобные слагаемые: х - 7 + 2х - 5х + 1. 1378. Вычислите: • 4 12 241 1379. Что больше: а или 2а? а или 5 7 1380. у некоторого числа равны ^ этого числа. Какое это число? 2 1381. До конца суток осталось , того времени, которое прошло от на- чала суток. Который сейчас час? 1382. Из пятидесяти звеньев составлена цепь. Найдите длину этой цепи, если просвет каждого звена — 16 мм, а толщина — 4 мм (рис. 111). ^6. 1383. Выполните действия: 1) 45,09 : 1,5 - • 4^ - 2,5 • 2^1 : 4 j; 2) (^5,05 : ^ - 2,8 • • 0,3 + 1,6 • 0,1875. 1384. Перечертите рисунок 112 в тетрадь. Проведите через точку К прямую: а) параллельную прямой а; б) перпендикулярную прямой а. а) б) в) Рис. 112 242 1385. Начертите угол АВС, равный 75°. На стороне ВА отметьте точку М и проведите через неё две прямые, одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна стороне ВС. 1386. В лаборатории стояли 25 столов с ящиками. В одних столах было по 3 ящика, а в других — по 4 ящика. Сколько было столов с тремя ящиками и сколько было столов с четырьмя ящиками, если общее число всех ящиков равно 91? 1387. По норме рабочий должен изготовить 72 детали, а он изготовил 90 деталей. На сколько процентов рабочий выполнил норму и на сколько процентов он перевыполнил норму? 3 3 1388. На у земельного участка разбит сад, где - сада занимают яблони. Какую площадь занимают яблони, если площадь земельного участка if га? 4 1389. Найдите значение выражения: : (-3) - : (-6i) б) в) (204,12 : 10,5 - 3,2 • 1,2) • б| -Ь 7 : 2|. 45. Координатная плоскость Места в зрительном зале кинотеатра задают двумя числами: первым числом обозначают номер ряда, а вторым — номер кресла в этом ряду (см. рис. на форзаце). При этом места (3; 8) и (8; 3) различны: первое является креслом № 8 в третьем ряду, а второе — креслом № 3 в восьмом ряду. Подобным образом можно обозначить и положение точки на плоскости. Для этой цели на плоскости проводят две перпендикулярные координатные прямые — X \А у, которые пересекаются в начале отсчёта — точке О (рис. 113). Эти прямые называют системой координат на плоскости, а точку О — началом координат. Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью. Пусть М — некоторая точка координатной плоскости (рис. 113). Проведём через неё прямую МА, перпендикулярную координатной прямой х, и прямую 243 Ui 1" 0 -4 3 - 2 - 1 L X -1“ г -2- С -З' Рис. 113 Рис. 114 МВ, перпендикулярную координатной прямой у. Так как точка А имеет координату 6, а точка В — координату -5, то положение точки М определяется парой чисел (6; -5). Эту пару чисел называют координатами точки М. Число 6 называют абсциссой точки М, а число -5 называют ординатой точки М. Координатную прямую х называют осью абсцисс, а координатную прямую у — осью ординат. Точку М с абсциссой 6 и ординатой -5 обозначают так: М(6; -5). При этом всегда на первом месте пишут абсциссу точки, а на втором — её ординату. Если переставить координаты местами, то получится другая точка — N<-b\ 6), которая показана на рисунке 113. Каждой точке М на координатной плоскости соответствует пара чисел: её абсцисса и ордината. Наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами. На рисунке 114 показано, как попасть в точку С с координатами (-4; -3): сначала надо пройти по оси X от начала отсчёта влево на 4 единицы, а потом — на 3 единицы вниз. В географии положение точек на земной поверхности тоже определяют двумя числами — географическими координатами: широтой и долготой. Под каким углом пересекаются координатные прямые х \л у, образующие ■ систему координат на плоскости? Как называют каждую из этих прямых? Как называют точку пересечения этих прямых? Как называют пару чисел, определяющих положение точки на плоскости? Как называют первое число? Как называют второе число? Расскажите, как найти абсциссу и ординату точки на координатной плоскости. Расскажите, как построить точку по её координатам. 244 м р к О 1 ^ с еве р ( "1 0 4 У 1 3 KN - 1 rtf 1 3£ Ш£д % Во СТО] с О 5 KW 1 N . 1PJ JCj ^ к )г Рис. 115 Рис. 116 1390. По рисунку 115 определите, сколько клеток надо пройти слева направо и сколько — снизу вверх, чтобы попасть из точки О в точки М, К, Р к N. 1391. Шестиклассники участвовали в спортивной игре. Сначала звено было в точке О (рис. 116). Командир звена получил приказ: «Идите на восток 5 км, а затем на север 4 км». Назовите координаты точки Б, в которую должно попасть это звено. Сформулируйте приказы для других звеньев, которые должны попасть из точки О в точки С, Б, Б, Б, М, N. Назовите координаты этих точек. 0^ 1392. Возьмите географическую карту и назовите широту и долготу городов: Москвы, Киева, Алма-Аты. Запись М(-2; 7) читают так: — точка эм с абсциссой минус два и ординатой семь, — точка эм с координатами минус два и семь, — координаты точки эм — пара чисел минус два и семь. 245 1 A А В О** О л 1 О 1 - 3 - 2 -1 : ; i i X i-1 ! „ -3 с -4 D 1393. Постройте координатные прямые X тл. у VL отметьте точки А(2; 8), Б(3; -4), С(-4; 5), П(-3; -7), Б(0; 5), М(0; -4), ii:(6; 0), Б(-7; 0). ffvX iZaj 1394. Найдите координаты точек А, Б, С и П (рис. 117). 1395. У каких точек на координатной плоскости абсцисса равна нулю? У каких точек равна нулю ордината? Какая точка имеет координаты (0; 0)? Рис. 117 1396. Где расположены на координатной плоскости точки, абсцисса которых равна 4? А где расположены точки, ордината которых равна -1? 1397. Изобразите на координатной плоскости точки А(-2; -2), Б(-1; -1), С(0; 0), Х>(1; 1), Б(2; 2). Проверьте с помощью линейки, лежат ли эти точки на одной прямой и лежит ли на этой прямой точка М (-5; 5). Мх 1398. Постройте на координатной плоскости четырёхугольник АБСБ, если А(-10; -2), Б(-2; -2), С(-2; -6), Б(-10; -6). Является ли он прямоугольником? квадратом? Найдите периметр и площадь этого четырёхугольника, если единичный отрезок равен 1 см. Проведите отрезки АС и BD и найдите координаты точки пересечения Е этих отрезков. 1399. Постройте треугольник ОБС, где 0(0; 0), Б(4; 6), С(1; 5). 1400. На миллиметровой бумаге (рис. 118) отмечены точки А, Б, С, Б, Ef F, К и М. Найдите их координаты. 1401. В координатной плоскости проведена линия (рис. 119). Найдите на этой линии точку: а) абсцисса которой равна 2; 1,7; -1,2; б) ордината которой равна 1,8; 2,1; -1,6; -2,5; -3,2. 1402. Даны точки А(1; 3), Б(-1; 4), С(7; -5), Б(0; 6). Какие из этих точек расположены: а) выше оси абсцисс; б) левее оси ординат? 246 zm ii \ШС D ri:; ui E ffit: TthH-l- ШЩо F Л;;: ЩШ- . ;iii: да .H^ Hi ГЩТГГГГ Aj^W 1ШЩ rt-r-TTIT^ :p;:: J-ULLl. H-H-Pf ШРзн; mi Шш :ji:|4;!:H i- HLlIll» M ;h; ‘± ;i Ш r.LtP ::i±l: if 1 II T -! X :?r- Рис. 118 Рис. 119 1403. Вычислите устно: а)-2,8-3,2 б) 1,4-8,2 в) 0,8-7 г)-10 + 1,8 :1,2 :3,4 -1,9 :0,41 •1,6 -0,5 :3 +5,4 + 8,5 +0,8 -0,2 -0,5 У 1404. Что больше: х или х^ или х^? О 1405. Найдите все дроби со знаменателем 15, которые больше ^ и меньше 1. 1406. Числа 90 и 100 разделили на одно и то же число. В первом случае получили остаток 18, а во втором случае — остаток 4. Найдите делитель. Ад _j=il 1407. Из корзины взяли 6 яблок, затем треть остатка и ещ;ё 6 яблок. После этого в корзине осталась половина первоначального числа яблок. Сколько яблок было в корзине? 247 1408. Попробуйте найти простой способ для вычисления значения выражения: 1-2^2-3^3-4^4-5^5-6^6-7^7-8^8-9^910 1409. Начертите какой-нибудь треугольник АВС. Через вершину С проведите прямую Z, параллельную стороне АВ, и прямую т, перпендикулярную стороне АВ. 1410. Найдите длину окружности, радиус которой 7 см; 0,7 см; 0,14 см, 22 приняв п

Читайте также: Fishing king для андроид

qJ 1411. Найдите радиус окружности, длина которой 6,28 мм; 3,14 см; 0,0628 м, приняв п « 3,14. 1412. Вычислите: (-0,4)2; (-0,1)3; (0,0)3; (0,2)2; I+4,2; 2i+3,75. 1413. Найдите объём и площадь поверхности куба, ребро которого равно: а) 4 см; б) 0,2 м. 1414. Решите уравнение: 1) 0,8-(9 + 2х) = 0,5-(2 — Зх); 2) 0,5-(л: + 3) = 0,8-(Ю — х). 1415. Решите задачу: 1) На заводе производится смена оборудования. После того как 51 станок заменили новыми, осталось заменить ещё 83 % станков. Сколько всего станков на заводе надо было заменить новыми? 2) Купили пачку бумаги. После того как израсходовали 30 листов, осталось 85% пачки. Сколько листов бумаги было в пачке? ® 1416. Решите уравнение: 1) (13,4 — г/)-4,3 — 20,05 = 78,05 + 6,7у; 2) (16,2 — jc)’3,2 — 50,08 = -8,12 — 5,1jc. J 1417. Постройте ломаные линии ABCDE и MNK по координатам точек А(-6; 2), Б(-4; 6), С(1; 1), П(2; -5), £(8; -1) и М(-5; -5), iV(-l; 7), 4). Найдите координаты точек пересечения ломаных ABCDE и MNK. 1418. Постройте четырёхугольник ABCD по координатам его вершин А(-8; 6), В(6; 5), С(1; -3), П(-7; 1). Найдите координаты точки пересечения отрезков АС и BD. 248 1419. Отметьте на координатной плоскости точки М(0; 5), N(S; 1), С(2; 2), D(-6; -2). Найдите координаты точки пересечения прямых MN и CD. На какой из этих прямых лежит точка ^Г(0; 1)? 1420. Постройте треугольник АВК по координатам его вершин А(-2; -2), Б(1; 5), К <6; -2). Найдите координаты точки пересечения стороны АК с осью ординат. 1421. Решите уравнение: а) -3,7-(2,5л: - 7,6) = -3,66 + 2,1л:; б) 0,4-(^ - 0,6) = 0,5-(1/ - 0,8) + 0,08. 1422. Отметьте точку М и проведите через неё две прямые — т та. I — так, чтобы они образовали угол, равный 62°. 1423. Постройте угол COD, равный 50°. Через точку М, лежащую на стороне OD, проведите прямую т, параллельную стороне ОС, а через точку К, лежащую на стороне ОС, проведите прямую п, параллельную стороне OD. Измерьте транспортиром углы, образовавшиеся при пересечении прямых тип. 1424. Найдите значение выражения: а) -3,8-(4 - 4,9) -Ь 13,4-(3 - 2,8); б) -3,636 : 0,6 -Ь 2,6-(5 - 1,1). 46. Столбчатые диаграммы в селе 90 домов. Из них 15 — под железной крышей, 45 — под черепичной и 30 — под шиферной. Число домов каждого вида изображено на круговой диаграмме (рис. 120). По-другому эти числа можно изобразить с помощью столбчатой диаграммы (рис. 121). Для этого надо нарисовать три столбика, высота которых соответствует количеству домов каждого вида. Пусть высота первого столбика 15 мм, второго 45 мм, третьего 30 мм. Если бы каждый дом изображался столбиком в 2 мм, то высоты всех трёх столбиков на рисунке увеличились бы в 2 раза. Рис. 120 249 а 1425. В селе 22 двухэтажных дома, а остальные 68 — одноэтажные. Постройте круговую и столбчатую диаграммы (один дом — 2 мм). 1426. Постройте столбчатую диаграмму, показывающую массы первых десяти космических кораблей серии «Венера». Название и год запуска Венера-1 1961 Венера-2 1965 Венера-3 1965 Венера-4 1967 Венера-5 1969 Масса, кг 643,5 963 960 1106 ИЗО Название и год запуска Венера-6 1969 Венера-7 1970 Венера-8 1972 Венера-9 1975 Венера-10 1975 Масса, кг ИЗО 1180 1184 4936 5033 ») 1427. Постройте столбчатую диаграмму по следующим данным: а) наибольшая глубина озера Байкал 1620 м. Онежского озера 127 м, озера Иссык-Куль 668 м. Ладожского озера 225 м; б) расстояние до Солнца от планеты Меркурий = 58 млн км, от планеты Венера = 108 млн км, от планеты Земля = 150 млн км, от планеты Марс = 228 млн км. 1428. Отметьте на координатной плоскости точки А(-2; 4), В(-4;-5), С(8; 0), В(-4; 4). Найдите координаты точки пересечения прямых АВ и CD. 1429. На координатной плоскости отмечены точки А(2; 3), В(-3; 4), С(-5; 6), В(3; -4), В(0; -5), li:(0; 3), N<-2; 0), М(5; 0). Какие из этих точек расположены: а) выше оси абсцисс; в) правее оси ординат; б) ниже оси абсцисс; г) левее оси ординат; д) на оси абсцисс; е) на оси ординат? 1430. Вычислите: i + ^ 8 4 a)l5 + !l -16; в) 2 : I ■ li; б) 12| : 2| - 6; ,3 5,3 г) 4 ■ 7 + 4 1431. Раскройте скобки: а) I • (4 + 12х); б) 1 4 - « 250 1432. Из делителя вычли его Как изменится частное? 5 1433. Какой цифрой оканчивается разность 1-2-3-4- . •26-27- 1-3-5-7-. -25-27? 1434. Запишите в виде двойного неравенства условия, которым подчиняются (рис. 122): а) абсциссы любой точки фигуры; б) ординаты любой точки фигуры. -2 а) 2 -1 ' 0 -Mf б) Рис. 122 1435. Найдите массу 1 см^ веш;ества, если ^ см^ этого вещества имеют О массу ^ г. Найдите объём этого вещества, если его масса равна 1 г. ПВ] 1436. Найдите значение выражения: 1) fl,75 • I - 1,75 : l|l • 4,5 - 4,5; 2) f2,75 • А - 2,75 : • 2,7 - 2,7. 1437. Постройте столбчатую диаграмму по следующим данным: а) площадь России равна 17,1 млн км^, площадь КНР — 9,6 млн км^, площадь Индии — 3,3 млн км^ и площадь США — 9,4 млн км^; б) длина Днепра — 2,2 тыс. км, Дона — 1,9 тыс. км, Днестра — 1,4 тыс. км, Печоры — 1,8 тыс. км, Волги — 3,5 тыс. км. 251 1438. В одной пачке было в 2,5 раза больше тетрадей, чем в другой. Когда из второй пачки переложили в первую 5 тетрадей, то во второй стало в 3 раза меньше тетрадей, чем в первой. Сколько тетрадей было в каждой пачке первоначально? 1439. Для оклейки стен обоями на 1 м^ требуется: обоев 0,25 рулона, крахмала 0,09 кг, клея 0,01 кг, газетной бумаги 0,07 кг. Сколько материалов потребуется для оклейки обоями комнаты, если площадь всех её стен вместе с окнами и дверями — 35,3 м^, а площадь окон и дверей равна 10,2 м^? Ответ округлите с избытком до десятых долей килограммов и до целых рулонов. 1440. Найдите значение выражения: а) (1,6 + 154,66 : 70,3) : 1,9 - 0,3; в) fo,3 " -2| - | : 1,4; б) (89,54 : 2,2 + 3,3) : 1,1 + 0,9; г) 11,08 - : I - 0,25 : 47. Графики Когда Маше был год, её рост составлял 70 см, когда ей было 3 года — 100 см, 5 лет — 120 см и 7 лет — 130 см. По этим данным можно построить диаграмму (рис. 123). На этой диаграмме не полностью видно, как менялся рост Маши: она росла всё время, а на диаграмме виден её рост, только когда ей был 1 год, 3 года, 5 лет и 7 лет. Соединим верхние концы столбиков отрезками. Получится ломаная линия, которая нагляднее показывает, как изменялся рост Маши (рис. 124). Мы видим, что в 4 года её рост примерно равнялся 110 см, а в 6 лет — 125 см. yk |l50d (U S Н — |iooa ш cd о PQ X 50-3 и о cu Т--1--Г 01234567 Возраст (в годах) Рис. 123 252 Если бы рост Маши измерялся всё время, то получилась бы не ломаная, а гладкая линия, такая же, как на рисунке 125. По этой линии можно узнать рост Маши в любом возрасте от 1 года до 7 лет. Так, например, в 2 года её рост был 90 см. Эту линию называют графиком роста Маши. Для большей точности построения графиков их чертят на миллиметровой бумаге. Например, график роста Маши на миллиметровой бумаге показан на рисунке 126. Графики чертят и с помощью компьютеров, которые обеспечивают ещё большую точность. Графиками пользуются для изображения движений. Пусть поезд, идущий со скоростью 60 км/ч, вышел в 3 ч утра из г. Ромска. Тогда в 4 ч он окажется на расстоянии 60 км от Ромска, в 5 ч — на расстоянии 120 км от него и т. д. Следующая таблица показывает расстояние от Ромска до поезда в разные моменты времени: Время суток, ч 3 4 5 6 7 8 9 Расстояние от г. Ромска, км 0 60 120 180 240 300 360 Изобразим пары чисел (3; 0), (4; 60), (5; 120) и т. д. точками на координатной плоскости. При этом удобнее выбирать разные масштабы на осях координат. Будем на оси абсцисс изображать 1 ч отрезком 1 см, а на оси ординат — 60 км отрезком 1 см. Получим точки А, В, С, D, Е, F \л Н (рис. 127). Все эти точки лежат на одной прямой. Если поезд не вышел из Ромска в 3 ч утра, а прошёл мимо него в это время, то таблицу можно продолжить и влево: Время суток, ч 0 1 2 Расстояние от г. Ромска, км -180 -120 -60 253 Знак «-» здесь показывает, что поезд ещё не дошёл до г. Ромска, а идёт к нему. Точки с координатами (0; -180), (1; -120); (2; -60) лежат на одной прямой с ранее найденными. Эту прямую называют графиком движения поезда (см. рис. 127). По графику можно узнать, где находился поезд в 6 ч 30 мин (он отошёл от г. Ромска на 210 км), где он был в 1 ч 30 мин (он не дошёл до г. Ромска 90 км), когда он отошёл от г. Ромска на 270 км (в 7 ч 30 мин) и т. д. 1441. На рисунке 128 показан график изменения массы Пети в зависимости от его возраста. Какова масса Пети в возрасте 6 лет; 8,5 лет; 10 лет? ^1 1442. На рисунке 129 изображён график изменения температуры воздуха в течение суток. Ответьте на следующие вопросы: 254 а) Чему равнялась температура воздуха в 3 ч; в 12 ч? б) В какие часы температура воздуха была отрицательной? в) В какие часы температура воздуха была положительной? г) Когда температура воздуха равнялась нулю; 2° С; -6° С? д) На сколько градусов изменилась температура с2чдо13ч;с18ч до 24 ч? 1443. Высота сосны изменялась в зависимости от её возраста следующим образом: Возраст сосны, лет 0 1 20 30 40 50 60 70 80 90 Высота сосны, м 0 3,2 6 9,2 12,4 14,9 17 19,2 21,3 24 Постройте график зависимости высоты сосны от её возраста. Пользуясь графиком, найдите: 255 Высота (в см) а) высоту сосны в 15 лет; в 35 лет; в 75 лет; б) возраст сосны, когда её высота была 10 м; 16 м; 20 м; в) на сколько метров выросла сосна за первые 20 лет; за вторые 20 лет; за третьи 20 лет; г) на сколько метров выросла сосна за время от 15 до 45 лет. 1444. В пустой графин (рис. 130) наливают воду стаканом, содержащим 0,2 л, и каждый раз отмечают высоту воды в графине. На рисунке 131 изображён получившийся график. Пользуясь графиком, определите: а) какой будет уровень воды в графине, если в него налить 0,8 л воды; 2 л воды; б) сколько воды надо налить в графин, чтобы уровень воды оказался на высоте 7 см; на высоте 13 см; в) почему сначала уровень воды в графине растёт быстрее, потом медленнее, а затем опять быстрее. Рис. 130 256 Мд ‘ 1445. На рисунке 132 изображены графики движения двух автомобилей: грузового (график АВ) и легкового (график CD). Определите, пользуясь графиком: а) в какое время вышли автомобили из города; б) на каком расстоянии от города был легковой автомобиль в 4 ч 30 мин; в 7 ч; в) на каком расстоянии от города был грузовой автомобиль в 4 ч; в 6 ч 30 мин; г) в какое время грузовой автомобиль находился в 135 км от города; в 210 км от города; д) в какое время легковой автомобиль находился в 135 км от города; в 225 км от города; е) в какое время и на каком расстоянии от города легковой автомобиль догнал грузовой автомобиль; ж) какой автомобиль шёл с постоянной скоростью; з) какова была скорость грузового автомобиля между 5 ч и 6 ч; между 6 ч и 7 ч; и) на каком расстоянии друг от друга были автомобили в 5 ч; в 7 ч. Мд ‘ 1446. Рыболов рассказал, что, выйдя из дома, он шёл 2 ч по берегу реки и дошёл до места, где в неё впадает приток. Там он ловил рыбу 1,5 ч, а потом пошёл дальше. Через 1 ч он выбрал новое место, где в течение 2 ч ловил рыбу, варил уху, обедал. После обеда он отправился домой. На всё это он затратил 9 ч. График движения рыболова изображён на рисунке 133. Ответьте на следуюш[ие вопросы. 257 а) На каком расстоянии от дома был рыболов через 30 мин; через 4 ч 40 мин; через 5,5 ч после выхода из дома? б) Через сколько часов после выхода из дома был рыболов в 5 км от дома? в) Когда расстояние от дома увеличивалось; уменьшалось; не изменялось? г) Сколько километров прошёл рыболов за последние 2 ч? д) С какой скоростью рыболов шёл в первый и с какой в последний час пути? Чему равна скорость движения рыболова в промежутке времени между 4 и 4,5 ч после выхода из дома? 258 1447. Вычислите устно: а) -1,8-4,6 :1,6 + 12,1 :(-3) б) 0,1-10 :3 -2,7 :4 в) 4,6-6 •2 -1,4 :3 г)А-1 •4 :6 _ 1. 4 У 1448. Найдите: а) I от 12,6; б) 0,2 от 26; в) 15% от 20. 1449. Найдите число, если: а) у его равны 35; б) 0,12 его равны 48; в) 18% его равны 24. 1450. Определите: а) какую часть 12 составляет от 18; б) какую часть 70 составляет от 100; в) сколько процентов 8 составляет от 40. 1451. Вычислите: f + -; - - -; 6 3’ б 3’ 0,6 - 0,24; 0,6-0,24; 0,6 : 0,24. 5 . 2. 6 3’ |; 0,6 + 0,24; 1452. Где расположена на координатной плоскости точка М<х, у), если: а) л: >о, I/ > 0; в) jc 0; д) д: > 0, г/ 2 % 1 в) ig: г) 369. а) 0,3; б) 370. 10 км. 371. 40 км. 372. 40 км/ч. 373. а) 26,468; б) 3,524; в) 0,187; г) 34,735. 404. На 72,8 %. 411. 1,067. 412. 1) 11,8 кг; 2) 8,4 кг. 413. 1) 149 763; 2) 187 521. 414. 7 т. 417. а) l|; б) б|; в) 2^; г) 6. 418. i. 9 419. 35 420. 44 Yq м. 421. 6 ч 29 мин. 422. а) 1,6; б) 6,4. 423. 3,8 км/ч. 424. 9 кг; 6 кг. 425. а) 30,7; б) 8,94. 426. а) 10; б) 1,1; в) 1,2; г) 0,7. 469. 1) 2) ii. 478. а) б) в) 2^; г) 6; д) 0,5; е) ж) у; 3) J. 481. 35 — 7t; 31,5 км; 14 км; о км. 482. а) 0,7; б) 4. 483. 2,917. 514. а) 51; 6)5^. 518. 56 км/ч. 519. 2 дм. 520. 1) 4 и 15; 2) 21 и 15. 521. 1) 185,85; 2) 268,92; з) 324,4; 4) 602,51. 280 522. 1) 17,6; 2) 4,6. 523. На 48 кг. 524. 32 кг. 525. 648 527. 566,5 тыс. 528. 18 т. 529. 200 га. 530. 252 т. 531. 140 км. 532. 46%. 533. 17 кг; 34 кг; 25 кг. 534. а) 2,646; б) 5; в) 145,516; г) 315 451. 563. 45%; 15 %. 564. 141 кг. ч 11 ^4,5. 565. а) ол» б) 1 ^о> в) 47^; г) 13 64’ 36’ 566. 1) 47,94; 2) 1,68. 568. а) 7|; б) 27; в) 63; г) 43; д) 10; е) 570. 27 км. 571. 271 кг. 572. 2 ч. 573. 800 г. 574. g с; 70 т; 49 т. 575. 0,46т; 2539,2 м; 10 120 м. 576. а) 2,25; б) 15,01. 588. 12 км. 589. 2,1; 3; 4,2. 590. 1) 6,525; 2) 2,537. 593. 30 кг. 594. 2; 3; 2,4; 3,6. 595. а) 203,07; б) 555,3. 631. 1) 45; 2) 54. 632. 1) 3; 2) 3; 3) 0,8; 4) 0,8. 634. а) 12; б) 14; в) 2|; 10’ 635. а) 1 у0 * б) 3; в) g» г) 10; д) 1 2 J е) 3. 636. а) 13; б) 2. 640. 15 л, 20 л. 641. 72; 84. 642. 126 лет, 210 лет. 643. 28 км/ч; 32 км/ч. 644. 54 км/ч; 90 км/ч. 646. а) 0,7178; б) 5; в) 0,3589; г) 10. 678. 1) l|; 2) 3) 4) I 679. 686. 687. 688. 689. 690. 691. 713. 714. 715. 716. 717. 1) 49,8; 2) 58,95. 25 км; 8 км. 54,4 кг. 750 м. 400. 88. а) 0,224; б) 83,244; в) 1,08; г) 37,4. 21 а. 28 км. 1) 192; 2) 2128 т. а) 11; б) 1,56; в) 3,6; г) 7,7; д) 6,3; е) 3; ж) 1; з) 16. 98 очков. 718. 3 ч. 719. 8,2 г. 720. 90 м2. 748. 9 ц. 749. 6,4 кг. 750. 1) 136 см®; 2) 210 см®. 755. 4%; 5%. 756. На 18,75%. 757. 76^ %; 80%. 759. а) 9; б) 30; в) 0,105; г) 3,85. 777. 779. 780. 781. 803. 808. 809. 810. 811. 812. 813. 814. 815. 816. 817. 818. 819. 836. 838. 839. 845. а)2|; 7’ 17’ в) 2; г) 1 45 км/ч. 1,4. а) 11,04; б) 280. а) 10,5; б) 2; в) 1,44; г) 0,4. a)l|; б) 2. 1) 92%; 2) 94%. 1) 4; 2) 7. 36 кг. 3 дня. 3,5 м®. 7,1 т. 60 кг. 17,5%. 37,6 кг. 6,25 кг. а) 95,7; б) 101,3. За 15 мин. 1) 5,4 и 1,8; 2) 2 и 0,5. 1) 2,55; 2) 2,25. 14,4 см. 8 846. а) 2; б) б|. 864. 1) 0,512 кг; 2) 4,2 кг. 281 865. 1) 10,5; 2) 3) 32,541; 4) 21,59; 5) 18; 6) 421. 869. = 68 км/ч. 871. 14 ч. 872. 4 л. 873. а) |; б) 1 B)li; r)i|. 884. 1) 24; 64; 2) 14; 12. 885. 1) 2) 887. 2,5 дм. 888. =113 см2; ^ 28,3 см^. 889. 5,4 т; 4,5 т. 890. а) 10; б) 20. Глава II 917. 1) 60 кг; 2) 20 кг; 3) 150; 4) 105. 923. Четыре по 44 м и 58 м. 924. 48. 925. 140 кг. 941. 1) 18 тыс.; 2) 168 т. 946. 90 кг. 947. 1748 ц. 948. а) 3; б) 2. 949. а) 0,05; б) 3,85. 971. 77 км/ч. 972. 24,5 ц. 973. 308. 992. 1) 10,5; 2) 4,08. 993. 1) 50%, 40%, 10%; 2) 20%, 65%, 15%. 994. 1) 68,8; 2) 78,7. 998. 30%, 50%, 20%. 999. 2|. 1000. 0,4. 1013. 1000 т. 1014. 13,16 дм2. 1018. 500. 1019. а) 1,55; б) 44,1. 1036. 1,3122 м2. 1037. 1) 2146,37; 2) 2656,66. 1040. В шестых классах на 1 человека. 1041. 5670 см2. 1042. а) 46,108; б) 3642,06. 1055. 1) 1804,5; 2) 2624,3. 1058. 8,2 г. 1060. а) 2,88; б) 3,4; в) |. 1079. 1) 350 км; 2) 190 кг. 1080. 1) 1; 2) 0,1. 1084. 35,4 м2. 1085. 15; 18; 9. 1086. 141. 1106. 40 кг, 200 кг, 120 кг. 1107. 1) 12 кг, 7 кг, 2 кг; 2) 280 га, 245 га, 35 га. 1108. 1) 15,99; 2) 32,02. 1115. 42; 20; 8. 1116. 255; 850. 1117. 84; 136; 80. 1142. 1) 2) 1145. а) 270; б) -20,74; в) -9,45; г) |; д) 2; е) -24. 1146. 28,8 т. 1147. 54. 1148. 18,48; 6,16. 1166. а) -1; б) 0. 1171. а) -5,26; б) -2,03. 1174. а) -10; б) 10 000; в) -4; г) -402; д) -40; е) 30,625; ж) -8,5; з) 1175. 60 км/ч. 1176. 2. 1177. а) -10,6; б) -2,5. 1195. 1) 9,2; 2) 9,2; з) 3,08; 4) 3,456; 5)-у; 6)-|. 1199. 3,2 км/ч; 4,8 км/ч. 1200. а) -0,2; б) 2,64. 1224. 1) 13,5 км/ч; 48,6 км/ч; 2) 45 км/ч; 72 км/ч. 1225. 1) 0,2; 2) 0,2; 3) -6,5; 4) 12. 1229. а) -0,06; б) в)-|; г) 20; д)-37; е) -7. 1230. На 128%, на 28%. 1231. 1,5 л. 1232. 6 км/ч. 1233. а) -44,99; б) -8,97; в) 0,87. 1252. 1) 8; 2) 3,9. 1253. 1) 7,5; 2) 0,5. 1256. а) 7; б) -1; в) -90; 282 1257. а) -2g; б) -g; 5’ 1258. a) 600; на 11 g %; б) 28,7 кг; в) 1045 кг. 1259. а) 4,5; б) 5. 1274. 1) 7,54; 2) -9,7. 1276. а) -391,68; б) -321,11; в) -3,82; г) -5,31. 1277. а) 1,75; б) 0,5. 1278. 20 т. 1279. 12. 1280. 374,4 га. 1301. 1) 200 га; 2) 5 м^. 1302. 1) 34,8; 2) -30,66. 1308. а) 15; б) 43; в) -5; г) -б|. 1309. 25 км/ч; 7 км/ч. 1310. 24; 20; 27. 1311. 1:30 000. 1312. 26 см. 1313. 18,9 км. 1339. 1) 32,085; 2) 83,276. 1340. 28. 1343. 162; 36. 1344. 250 г. 1345. 90, 50, 70 марок. 1346. 60; 20. 1347. 375 л; 350 л. 1348. а) 2,5; б) 3. 1349. 132 г. 1350. На 16,1 км/ч. L. А 20’ 20′ 1351. 7^; 1361. 100. 1362. 150 м. 1363. 7; 12. 1364. 1) 10; 2) 10. 1368. 70 пассажиров. 1369. а) 9,66; б) 18,3; в) -0,94; г) -2,24. 1) 29,06; 2) 60,3. 9; 16. На 125%, на 25%. 16 1383 1386 1387 1388. га. 1389. а) 1 б) 19; в) 10,8. 1407. 60. 1414. 1) -2; 2) 5. 1415. 1) 300; 2) 200. 1416. 1) -3,68; 2) -5,2. 1421. а) 2,8; б) 0,8. 1424. а) 6,1; б) 4,08. 1438. 100; 40. 1439. 7 рулонов; 2,3 кг; 0,3 кг; 1,8 кг. 1440. а) 1,7; б) 40,9; в) у; г) 1. 1457. 30; 45. 1458. 3,6 кг; 5,4 кг; 1,8 кг. 1459. 21 км/ч. 1460. 1) 56 т; 2) 270 с. 1461. 1) 2; 2) 3. 1463. 450; 300. 1464. 171 км/ч. 1465. 639 учащихся. 1468. а) 0,2805; б) 8,79; в) 81,81. 1472. 1) 5; 2) 0,8; 3) -3; 4) -1,5. 1478. 1) -0,9; 2) 1750; 3) -0,15; 4) 1458. 1480. 22 млн. 1488. 1) 0,1; 2) -0,136; 3) -4,65; 4) -1,5; 5) -14,8; 6) -20,6. 1489. а) 0,15; б) 0,17. 1490. а) 0,3; б) 5386,55. 1493. 29 м. 1494. а) 1; б) 18,42; в)-2,4; г) 13,4; д) 0; е) 4,2; 1 7 ж) 1; з) 4 и) Y2’ к,4§. 1501. а) 7,1; б) 5; в) 6; г) 1,12. 1502. 900 км. 1503. 5 ц; 70 кг. 1509. а) з|; б) 4у; в) 4з|; г) 11,3. 1511. а) -26,4; б) -27,4. 1512. 1) -2; 2) 2; 3) -3; 4) 5,4. 1513. 3 кг. 1514. 500 г. 1515. 190 кг. 1516. 1,6 км; 4,8 км; 36,6 км. 1517. а) -з|; б) ||; 25 3 в)-^; г) Y- 1518. 40 га; 20 га. 1519. 25 т; 50 т. 1520. 31 см. 1521. -1; 0; 1; 2. 1522. -4; -3; -2; -1; 0. 1523. 60 км. 1525. 3,06 км. 1526. а) 1400 га; б) 4,55 т. 1527. 750. 1528. 37,8 т. 1529. 711 %. 1530. 0,6 кг; 1,2 кг; 1,2 кг. 1539. 42; 135. 283 1540. 17 g км. 1541. 0,4 ч. 1542. Через 2,2 ч. 1548. На 6400 м\ 1549. 1760 кг. 1550. Уменьшилась на 1 %. 1551. На 21%. 1552. 20 7 км. 4 1553. 140 л. 1554. 180 кг; 163,8 кг. 1555. 98 страниц. 1556. 60 л. 1557. 1 5 т. 1558. 1 т; 1 g т. 1559. 2. 1562. а) 0,6; б) в)4|. 1563. а) 17,4; б) 10^; 23 в) 35,7; г) 2^; д) 2 gQ» е) 7 у; ж) 80; з) 1^. 1564. а) 0,05; б) 1,6; в) 0,055; -0,55; г) 2,3. 1567. а) 44,9; б) 2,1; в) 2,5; г) 3,2; д) 6,75; е) 4. 1568. 164 и 82. 1569. 1800 т; 600 т. 1570. 56; 28. 1575. а) 10,5; б) 4,08; в) |; г) 1. 1576. 315,54 тыс. т. 1577. 400. 1578. 120 км; 78 км. 1579. 120. 1580. = 13%. 1581. = 24,2 см. 1582. а) 2,5; б) 3. 1584. « 109 г. 1585. а) 40; б) 5,375; в) 12,5; г) -3,6. 1586. В теплице на 900 %. 1588. 63 см; 51 см. 1589. а) з|; б) l|. 1590. 60 км/ч; 75 км. 1591. 120 л; 40 л. 1592. Через 2 ч; 4,5 км/ч. 1593. 5 км/ч. 1594. 15; 22; 29; 36. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсцйсса точки 244 Алгебра 235 В Вычитание дробей 49 — отрицательных и положйтельных чйсел 185 — смешанных чйсел 61 Граф 211 График 253 — движения 254 д Деление дробей 97 — отрицательных и положйтельных чйсел 196 — смешанных чйсел 97 Делйтель 4 Диаграмма круговая 249 — столбчатая 249 Длина окружности 138 Дополнйтельный множитель 43 Дробное выражение 110 Дробь несократймая 39 — периодйческая 203 3 Знаменатель общий 43 —-наименьший 44 Золотое сечение 145 К Конус 161 Координата точки на плоскости ——- прямой 148 Координатная плоскость 243 — прямая 148 Коэффициент 221 Кратное 4 Л Линейное уравнение 230 244 М Масштаб 134 Модуль числа 159 Н Наибольший общий делйтель 25 Наименьшее общее кратное 29 Нахождение дроби числа 79 — нескольких процентов числа — процентного отношения 118 — числа по его дроби 104 процентам 105 Неравенство нестрогое 102 — строгое 102 О Ордината точки 244 Основное свойство дроби 34 —- пропорции 124 Ось абсцйсс 244 — ординат 244 Отношение 117 Отношения взаймно обратные 79 117 П Параллельные лучи, отрезки, прямые 240 Перпендикулярные лучи, отрезки, прямые 236, 237 Пирамйда 86 Площадь круга 138 Подобные слагаемые 224 Приведение к общему знаменателю 43 Прйзма 115 Прйзнаки делймости на 2, 5 и 10 9 ——-3, 9 13 Пропорциональная завйсимость прямая 128 —- обратная 128 Пропорция 123 — крайние члены 123 — средние члены 123 285 Разложение на множители 17 —простые множители 20 Раскрытие скобок 214, 215 Решение уравнений 229 С Свойства действий с рациональными чйслами 207, 208 Система координат на плоскости 243 Сложение дробей 49 — отрицательных и положительных чисел 176, 180 — подобных слагаемых 224 — смешанных чисел 60 Сокращение дроби 39 Сравнение дробей 49 — отрицательных и положйтельных чйсел 163 Сфера 142 У Умножение дробей 69 — отрицательных и положйтельных чйсел 190, 191 — смешанных чйсел 70, 87 Ц Цилйндр 152 Цйфры нечётные 10 — чётные 10 Чйсла-близнецы: 32 — взаймно обратные 93 — взаймно простые 25 — дружественные 56 — нечётные 10 — отрицательные 147 — положйтельные 147 — простьае 17 — противоположные 155 — рациональные 202 — совершённые 33 — составные 17 — фигурные 41 — целые 155 — чётные 10 Ш Шар 142 Шара диаметр 142 — радиус 142 ОГЛАВЛЕНИЕ Г л а в а I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ § 1. Делимость чисел . 4 1. Делители и кратные. 4 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. 9 3. Признаки делимости на 9 и на 3. 13 4. Простые и составные числа. 17 5. Разложение на простые множители. 20 6. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. 24 7. Наименьшее общее кратное. 29 § 2. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями . 34 8. Основное свойство дроби. 34 9. Сокращение дробей. 39 10. Приведение дробей к общему знаменателю. 43 11. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями . 49 12. Сложение и вычитание смешанных чисел. 59 § 3. Умножение и деление обыкновенных дробей . 68 13. Умножение дробей. 68 14. Нахождение дроби от числа. 78 15. Применение распределительного свойства умножения. 87 16. Взаимно обратные числа. 93 17. Деление. 97 18. Нахождение числа по его дроби. 104 19. Дробные выражения. 110 §4. Отношения и пропорции . 117 20. Отношения. 117 21. Пропорции. 123 22. Прямая и обратная пропорциональные зависимости. 128 23. Масштаб. 134 24. Длина окружности и площадь круга. 137 25. Шар. 142 Глава II. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА § 5. Положительные и отрицательные числа . 147 26. Координаты на прямой. 147 27. Противоположные числа. 154 28. Модуль числа. 159 287 29. Сравнение чисел. 163 30. Изменение величин. 167 § 6. Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел . 171 31. Сложение чисел с помощью координатной прямой. 171 32. Сложение отрицательных чисел. 176 33. Сложение чисел с разными знаками. 179 34. Вычитание. 184 § 7. Умножение и деление положительЕЕых и отрицательных чисел . 190 35. Умножение. 190 36. Деление . 196 37. Рациональные числа. 202 38. Свойства действий с рациональными числами. 207 § 8. Решение уравнений . 214 39. Раскрытие скобок. 214 40. Коэффициент. 220 41. Подобные слагаемые. 224 42. Решение уравнений. 229 § 9. Координаты на плоскости . 236 43. Перпендикулярные прямые. 236 44. Параллельные прямые. 240 45. Координатная плоскость. 243 46. Столбчатые диаграммы. 249 47. Графики. 252 48. Вопросы и задачи на повторение. 263 Заключение . 279 Ответы . 280 Предметный указатель. 285

Источник